【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【俄罗斯系列】

1、

定义  我们当然都知道微分形式的定义，我们称量

$dy={f}'(x)\Delta x$（1）

为函数$f\left( x \right)$的微分，其中$\Delta x$为自变量的增量.也即是说，函数$f\left( x \right)$的微分是两个自变量——量$x$及其增量$\Delta x$——的函数.这两个变量的值彼此之间毫无关系且可以完全无关地选取.

特别地，研究函数$y=x$，我们得到结论：$dx=\Delta x$，即自变量的微分和增量相等.在公式（1）中以$dx$代替$\Delta x$，我们得到

$dy={{f}^{'}}(x)dx$,

由此得

${y}'={f}'(x)=\frac{dy}{dx}$,

即导数等于函数微分与自变量的微分之比.

参考文献：

[1] [苏] А. Я. 辛钦（著），王会林，齐民友（译）. 数学分析八讲[M].武汉大学出版社.1998.121-122.

2、

定义  线性函数$g(\Delta x)=c\Delta x$叫作是增量$\Delta f(x)$（或函数$f\left( x \right)$本身在点$x=a$处）的微分，如果

$\Delta f(x)\sim c\Delta x$  当$\Delta x\to 0$，

即

$\Delta f(x)=c\Delta x+\gamma (\Delta x)\Delta x$，

其中$c\in R$且当$\Delta x\to 0$时$\gamma (\Delta x)\to 0$

函数$f\left( x \right)$的微分记作$df\left( x \right)$或简记作$df$。从定义推出

$\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=c$.

若此时$c\ne 0$，则

$\frac{\Delta f}{df}\to 1$ 当$\Delta x\to 0$.

我们发现，函数$\gamma (\Delta x)$定义在点$x=a$的某个去心领域中，函数$\Delta f(x)$定义在该店的某个$\delta $领域中，而函数$df\left( x \right)=c\Delta x$对于一切$x\in R$有定义，定义函数$\gamma (\Delta x)$使$\gamma (0)=0$，对于我们是方便的，结果在我们定义为分$df\left( x \right)$的等式

$\Delta f(x)=\text{d}f(x)+\gamma (\Delta x)\Delta x$

中，所有的函数都定义好了，且都在点$\Delta x=0$的某个领域中连续，进而易见，$\Delta x=dx$.

参考文献：

[1] 阿黑波夫，萨多夫尼奇，丘巴里阔夫（著），王昆扬（译）. 数学分析讲义（第三版）[M].北京：高等教育出版社.2006.6.81.

3、

定义  设函数$y=f(x)$定义在某一区间$\chi $内，而且在所考察的点${{x}_{0}}$处是连续的.于是相应于变元的增量$\Delta x$有

$\Delta y=\Delta f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$

它随着$\Delta x$同为无穷小量.下面的问题是很重要的：对于$\Delta y$是否存在着这样的一个关于$\Delta x$为线性的无穷小量$A \cdot \Delta x$（$A=$常数），使得它与$\Delta y$的差是一个较$\Delta x$高级的无穷小量：

$\Delta y=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)$.（1）

在$A \neq 0$时，等式（1）的成立指出了无穷小量$A \cdot \Delta x$是等价于无穷小量$\Delta y$的，也就是说，若取$\Delta x$作为基本无穷小量，则$A \cdot \Delta x$就成为$\Delta y$的主部.

如果等式（1）成立，则函数$y=f(x)$就叫做（在给定值$x=x_{0}$处）是可微的，而表达式$A \cdot \Delta x$就叫做函数的微分，用符合$d y$或$d f\left(x_{0}\right)$来记它.

最后我们来看看自变量$x$的本身：它的增量$\Delta x$，就叫做它的微分，即规定

$dx=\Delta x$，（2）

假若把自变量$x$的微分与函数$y=x$的微分看作是同样的（这同样也是一种规定），那么就可以证明：

$d x=x_{x}^{\prime} \cdot \Delta x=1 \cdot \Delta x=\Delta x$.

参照规定式（2），现在可以把给出微分定义的公式重写成这一形式

$d y=y_{x}^{\prime} \cdot d x$.

参考文献：

[1] [苏]菲赫金哥尔茨（著），吴亲仁（译）. 数学分析原理[M].北京：高等教育出版社.1960.167-170.

4、

设函数$y=f(x)$是在某一区间$\chi $内定义，并且在所考察的点${{x}_{0}}$处是连续的.于是对应于变元的增量$\Delta x$，函数的增量

$\Delta y=\Delta f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$

就随着$\Delta x$一同成为无穷小.现在提出一个非常重要的问题：对于$\Delta y$是否存在着一个关于$\Delta x$为线性的无穷小$A \cdot \Delta x$（$A=$常数），使它与$\Delta y$的差是较$\Delta x$更高阶的无穷小：

$\Delta y=A \cdot \Delta x+o(\Delta x)$.（1）

等式（1）在$A \neq 0$时成立就表明，无穷小$A \cdot \Delta x$等价于无穷小$\Delta y$，也就是说，若取$\Delta x$作为基本无穷小时，$A \cdot \Delta x$就可当作$\Delta y$的主部.

若等式（1）成立，则函数$y=f(x)$称为（在所给数值$x=x_{0}$时）可微的，表达式$A \cdot \Delta x$就称为函数的微分，用记号$d y$或$d f\left(x_{0}\right)$表示.

最后再讨论到自变量$x$本身：称为它的微分的就是增量$\Delta x$，即约定

$d x=\Delta x$.（2）

假如把自变量$x$的微分认为就是函数$y=x$的微分（这同样也是一种约定），则公式（2）也可以证明：$d x=x_{x}^{\prime} \cdot \Delta x=1 \cdot \Delta x=\Delta x$.

利用约定式（2），现在就可以把给出微分定义的公式改写成为$d y=y_{x}^{\prime} \cdot d x$.

参考文献：

[1] [苏]菲赫金哥尔茨（著） 杨弢亮，叶彦谦（译）. 微积分学教程 第一卷（第八版）[M].北京：高等教育出版社.2006.01.174-177.

5、

定义  设$\Delta x$是自变量的任意一个改变量，并认为它是不依赖于$x$的，我们叫它做自变量的微分，用记号$\Delta x$或$dx$记。这个记号，不是表示$d$与$x$的乘积，而是整个的用做一个记号来代表自变量的改变量，他是一个任意的量并不依赖$x$。

一个函数的导数与自变量的微分的乘积，叫做这个函数的微分。

函数的微分用记号$dy$或$df\left( x \right)$来记：

$dy$或$df\left( x \right)={f}'\left( x \right)dx$.

由这公式得到，用微分的商来表达导数的方法。

参考文献：

[1] [苏]斯米尔诺夫（著）孙念增（译）.高等数学教程 第一卷[M].北京：人民教育出版社.1952.108-109.

6、

Definition 1   A function $f:E\to R$ defined on a set $E\subset R$ is differentiable at a point $x\in E$ that is a limit point of $E$ if

$f\left( x+h \right)-f\left( x \right)=A\left( x \right)h+\alpha \left( x;h \right)$,(1)

where $h\mapsto A\left( x \right)h$ is a linear function in $h$ and $\alpha \left( x;h \right)=o\left( h \right)$ as $h\to 0$, $x+h\in E$.

The quantities

$\Delta x\left( h \right):=\left( x+h \right)-x=h$

And

$\Delta f\left( x;h \right):=f\left( x+h \right)-f\left( x \right)$

are called respectively the increment of the argument and the increment of the function (corresponding to this Increment in the argument).

They are often denoted (not quite legitimately, to be sure) by the symbols $\Delta x$ and $\Delta f\left( x \right)$ representing functions of $h$.

Thus, a function is differentiable at a point if its increment at that point, regarded as a function of the increment $h$ in its argument, is linear up to a correction that is infinitesimal compared to $h$ as $h\to 0$.

Definition 2  The function $h\mapsto A\left( x \right)h$ of Definition 1, which is linear in $h$，is called the differential of the function $f:E\to R$ at the point $x\in E$ and is denoted $df\left( x \right)$ or $Df\left( x \right)$.

Thus, $df\left( x \right)\left( h \right)=A\left( x \right)h$.

From Definitions 1 and 2 we have

$\Delta f\left( x;h \right)-df\left( x \right)\left( h \right)=\alpha \left( x;h \right)$，

and $\alpha \left( x;h \right)=o\left( h \right)$ as $h\to 0$，$x+h\in E$；that is, the difference between the increment of the function due to the increment $h$ in its argument and the value of the function $df\left( x \right)$， which is linear in $h$， at the same $h$， is an infinitesimal of higher order than the first in $h$.

For that reason, we say that the differential is the [principal) linear part of the increment of the function.

As follows from relation(1)，

$A(\text{x})=f'(x)=\underset{\underset{x+h,x\in E}{\mathop h\to 0}\,}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,

and so the differential can be written as

$df\left( x \right)\left( h \right)={f}'\left( x \right)h$.(2)

In particular , if $f\left( x \right)\equiv x$,we obviously have ${f}'\left( x \right)\equiv 1$ and

$dx\left( h \right)=1\cdot h=h$,

so that it is sometimes said that “the differential of an independent variable equals its increment”.

Taking this equality into account, we deduce from (2) that

$df\left( x \right)\left( h \right)={f}'\left( x \right)dx\left( h \right)$,

That is,

$df\left( x \right)={f}'\left( x \right)dx$.

参考文献：

[1] V. A. Zorich, Roger Cooke. Mathematical analysis 1 [1ed.] [M]. Springer.2004.179-181.