【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【中国地质大学】

定义：设函数$y=f(x)$在含$x_{0}$点的某区间$I$内有定义，$x_{0}+\Delta x \in I$。若存在与$\Delta x$无关的常数$A$使得$\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x)$成立，则称函数$y=f(x)$在$x_{0}$点处可微，且称$A \Delta x$为函数$y=f(x)$在$x_{0}$点的微分，记作$d y$或$d f(x)$，即$d y=A \Delta x$。

（定理）$y=f(x)$在$x_{0}$点可微的充分必要条件是$f(x)$在点$x_{0}$可导，且当$f(x)$在点$x_{0}$可微时，有$d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x$。当$f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$时，有

$\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{d y}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{f^{\prime}\left(x_{0}\right) \Delta x}=\frac{1}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)} \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=1$

从而，$\Delta y$与$d y$是$\Delta x \rightarrow 0$时的等价无穷小，于是

$\Delta y=d y+o(d y)$

因此，当以微分$d y$近似替代增量$\Delta y$，其误差不仅是$o(\Delta x)$也是$o(\Delta y)$。

由定理的结论，通常称可导函数为可微函数。约定把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作$d x$，即$d x=\Delta x$。于是上式写作$d y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) d x$，称其为函数的微分。

参考文献：赵晶，李宏伟.工科数学分析[M].武汉：中国地质大学出版社.2010:158-159.