【开篇语】

微分概念在整个微积分体系中占有重要地位。理解微分概念是微积分教育的重要环节。在历史上，微分的定义经历了很长时间的发展。牛顿、莱布尼兹是微积分的主要创建人，他们的微积分可以称为第一代微积分，第一代微积分的方法是没有问题的，而且获得了巨大的成功，但是对微分的定义（即微分的本质到底是什么）的说明不够清楚；以柯西、维尔斯特拉斯等为代表的数学家在极限理论的基础上建立了微积分原理，可以称之为第二代微积分，并构成当前教学中微积分教材的主要内容。第二代微积分与第一代微积分在具体计算方法上基本相同，第二代微积分表面上解决了微分定义的说明，但是概念和推理繁琐迂回。

当前，围绕微分定义问题，国内外学术界已经开始形成一些讨论，参与者从科学院院士，中青年数学工作者，以致在读博士硕士，当然也包括一些毫无话语权的“N无数学家”。但真理面前人人平等，只要我们抱着持之有故言之成理的科学态度，相信会引发深刻的思考。

为了使得微分定义的讨论更加深入，并且有充足的养料支撑，有必要将古今中外现行微积分学术著作中的微分定义详细调查。从今天起，我将在我所搜集整理的微积分定义逐次摘录在网上，方便大家讨论。在摘录的同时，将做一些简单的讨论。

【北京大学】

1、

$y=f\left( x \right)$在$(a, b)$上有定义，且有

$\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=A\Delta x+o\left( \Delta x \right)$     $\left( \Delta x\to 0 \right)$

其中A与$\Delta x$无关（可以依赖x），则称$f\left( x \right)$在x点可微，并称$A\Delta x$为函数在该点的微分，记作

     $dy=A\Delta x$     或      $df\left( x \right)=A\Delta x$

$\Delta y$的分解式中，第一项是$\Delta x$的线性项，第二项是$\Delta x$的高阶项。

      微分总可以写成

$dy={{f}^{'}}\left( x \right)\Delta x$     或     $df\left( x \right)={{f}^{'}}\left( x \right)\Delta x$

对特殊的函数$y=x$，因${{y}^{'}}=1$，所以

$dy=dx=1\cdot \Delta x$

把x看成函数时，它的微分就是自变量的改变量，对于自变量我们还没有微分概念，上面讨论启示我们应如何定义自变量的微分。我们定义自变量的微分就是自变量的改变量，即

$dx=\Delta x$

那么

$dy={{f}^{'}}\left( x \right)dx$

或

$\frac{dy}{dx}={{f}^{'}}\left( x \right)$

导数现在可以表示成两个微分之商，所以导数也称为微商。

参考文献：方企勤.数学分析[M].北京：高等教育出版社.1988：133-135.

2、

设$y=f(x)$在$x$点的函数增量$\Delta y$可表示成$\Delta y=A(x) \Delta x+o(\Delta x)$，则称$f(x)$在$x$点可微，并称变数$d x=\Delta x$的线性主部为函数的微分，记做（自变量的微分定义为$d x=\Delta x$）$d y=A(x) d x$。

参考文献：林源渠，方企勤.数学分析习题课教材[M].北京：北京大学出版社.1990：71.

3、

设函数$y=f\left( x \right)$在$x_{0}$点可微，我们引入记号

$dx:=\Delta x$，

$dy:={f}'({{x}_{0}})dx={f}'({{x}_{0}})\Delta x$，

并称$dy$叫做函数$y=f\left( x \right)$在$x_{0}$点的微分。

参考文献：张筑生.数学分析新讲[M].北京：北京大学出版社.1990：164.

4、

$y=f\left( x \right)$在$\left( a,b \right)$有定义，如果对给定的$x\in \left( a,b \right)$，有

$\Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=A\Delta x+o\left( \Delta x \right),(\Delta x\to 0)$

其中A与$\Delta x$无关，则称$f\left( x \right)$在$x$点可微，并称$A\Delta x$是$f\left( x \right)$在$x$点的微分，记为

$dy=A\bullet \Delta x$     或     $df\left( x \right)=A\Delta x$ 

若$y=x$，则${y}'=1$，于是

$dy=dx=1\cdot \Delta x=\Delta x$

因此我们规定自变量的微分$dx$等于自变量的该变量$\Delta x$，这样微分公式可以写作

$dy={f}'(x)dx$，

于是$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x)$。在定义微商时，符号$\frac{d y}{d x}$是作为一个整体，而现在有了微分概念之后，微商可以看做微分之商。

参考文献：邓东皋，尹小玲.数学分析简明教程[M].北京：高等教育出版社.2006：106-109

5、

$f(x)$定义在区间$(a, b)$上，$x \in$$(a, b)$，给定自变量$x$的一个增量$\Delta x$，得到函数的一个增量$\Delta y$，如果有$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=A \Delta x+o(\Delta x)$（$\Delta x \rightarrow 0$）则称$y=f(x)$在点$x$可微，函数增量的线性主部$A \Delta x$称为函数的微分，记为$d y=d f(x)=A \Delta x$。

令$y=x,{y}'=1,dy=dx=\Delta x$，即自变量x的微分是$dx=\Delta x$，所以$dy={{f}^{'}}\left( x \right)dx$.从这可看出符号$\frac{d y}{d x}=f^{\prime}(x)$的合理性，从而导数也称为微商，即两个微分之商。用这种记号记忆一下公式是十分方便的。

参考文献：彭立中，谭小江.数学分析[M].北京：高等教育出版社.2006：103-104 

6、

$dy={y}'\Delta x={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)\Delta x$

这就是函数$y=f\left( x \right)$在点${{x}_{0}}$处的微分式，其值的大小依$\Delta x$的大小而定，对于自变量$x$的微分$dx$，我们规定它就等于改变量$\Delta x$：

$dx=\Delta x$。

参考文献：周民强.数学分析[M].上海：上海科学技术出版社.2002：206.

7、

设函数$y=f\left( x \right)$在$U\left( {{x}_{0}},{{\delta }_{0}} \right)$内有定义，如果存在常数A，使得

$\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=A \Delta x+o(\Delta x) \quad(\Delta x \rightarrow 0)$

则称$f\left( x \right)$在点${{x}_{0}}$处可微，并称$A\Delta x$为$f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$处的微分，记做

$dy=A\Delta x$     或者     $$$$$df\left( {{x}_{0}} \right)=A\Delta x$

注：由于这一定理的缘故，对于一元函数而言，人们常把“可导”与“可微”等同起来使用，求导方法又称为微分法。此外，从定理的证明过程知，微分定义式中的系数A唯一地确定，而且必有$A={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)$成立。

   现考虑一个具体函数$y=x$的微分。由定义，得$dy=dx=1\Delta x$，即$dx=\Delta x$。因此，我们就可在微分记号中将$\Delta x$改为$dx$，即若$y=f\left( x \right)$在${{x}_{0}}$处可微，则$dy={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)dx$。因此，导数的记号

${{\left. \frac{dy}{dx} \right|}_{x={{x}_{0}}}}={{f}^{'}}\left( {{x}_{0}} \right)$

参考文献：伍胜健.数学分析[M].北京：北京大学出版社.2009：156-157.

8、

到现在为止，自变量$x$的微分还没有明确的定义。通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记为$dx=\Delta x$。于是（3.2）式可以改写为

$dy=f'(x)dx$

参考文献：李忠，周建莹.高等数学[M].北京：北京大学出版社.2004：91.

９、

函数$y=f(x)$在点$x$处的微分可写作

$dy={f}'\left( x \right)\Delta x$.

例如

$d(\sin x)=(\sin x{)}'\cdot \Delta x=\cos x\cdot \Delta x$，

$d({{e}^{-x}})=({{e}^{-x}}{)}'\cdot \Delta x=-{{e}^{-x}}\cdot \Delta x$，

$d(x)=(x{)}'\Delta x=\Delta x$.

由于$dx=\Delta x$，因此微分$dy={f}'\left( x \right)\cdot \Delta x$可记作

$dy={f}'(x)dx$.

 参考文献：文丽，吴良大.高等数学[M].北京：北京大学出版社.1989：177-179.