主要内容：主要谈数系的发展，从数系扩展或者历史角度来谈。主要涵盖：自然数、整数、有理数、无理数、代数数、超越数、实数等。各类数集应包含各类别的定义、数的性质等。

数学史的发展，伴随着数系的扩展。随着时间的推移，新的“数”不断被提出，用以完善数学理论。个体的成长重演着人类的发生，我们都有过扳手指头算术的经历，但谁能够想象在原始社会或者在非洲某个部落里面，一个人能够数到三就是很大荣耀。本科课程学完，我们应该已经达到了科学发展到二十世纪的水平。这就是神奇的历史。

个体成长重演着人类历史的发生，因此我们也重演了数系的发展。四五岁的儿童，可能能够数十个以内的数，甚至某些数还分不清楚。到了七岁的时候，可能就认识了自然数，当然里面包括了零。伴随着小学教育，减法运算的引入，使得他们可以从亏欠的角度理解负数，比如 1 减去 3 是-2。而接触负数，实际上他们已经能够在整数里面理解问题。二年级的时候，学会了乘法，要背九九乘法表，认识的数不断扩充，但仍是在整数范围之内。三年级的时候，要学习除法，这时候面临着一个问题，就是除不尽的问题，比如七个苹果三人分怎么办？于是不得不接触分数，实际上就是有理数。有理数就是这种分数，可以写成 P/Q（Q≠0）的形式。数系再次扩展。对于分数，我们还接触过另一种表示方式，就是小数。小数从某种意义上来讲就是以十为底（也可以以其他数为底，如计算机中的二进制小数等）的分数，因此它不单独构成一类数。乘法有一类特殊的运算，就是连乘，就是对相同的数连续用乘法，比如4×4×4。这种运算单独抽出来，构成新的运算，即乘方，形式化就是 aⁿ（其中 a,n 都是整数）比如 4×4×4 可以写成 4³。

进而初中，我们开始接触几何。其中一个非常著名的定理就是勾股定理，即直角三角形的直角边 a,b，和斜边 c 满足 a²+b²=c²。那么知道 a 和 b 就可以很容易求 c，即。比如，已知 a=3，b=4，那么 c=5。在这里，出现了乘法的反运算，即开方，形式如.然而，对于 a=1，b=1，那么 c=？我们发现，这个时候，用有理数的形式已经给不出来这个 c，即 c 不可通约。也就是说，之前的数系——有理数——已经表示不出来这个 c。这可不是小事！大家知道毕达哥拉斯学派的希帕索斯因为发现了这个结果而被扔入海里。我们在接受这个事实的时候可能处之坦然，但在当时却是一个真正的科学危机，甚至精神危机！这类数的确存在，如，为区别上述所说有理数，于是便命名它为无理数。到此，一个数只要不是有理数就是无理数，这句话实际上包含着，有理数和无理数构成数的全部，命名为实数。与此同时，更多的无理数被发现。平方运算构造了三角形中的运算，如 sin45^o，cos34^o， tan25^o 等等。对乘方运算进行扩展，令 aⁿ 的 n 可以是任意有理数，又产生了一类无理数，比如 2^1.3 等。幂运算的反运算，即假如 x=aⁿ，反过来则有 n=log_ax。于是对数又进一步丰富了无理数家族。

无理数的发现丰富了数系。但无理数到底有多少，它们有什么性质却不清楚。进而，有理数与无理数构成了实数，那实数的性质也是不明晰。伴随着学习内容的发展，从高中开始我们接触导数、微分。而导数和微分的学习，必须在实数域中进行，因此就有必要完善实数理论，其中就包括实数构造规则，实数的性质等。

事实上，有理数和无理数构成了实数。实数是否有其他的分类方式？这个问题的回答是有的。在 18 世纪后期，勒让德的著作中提到了代数数，即一个实数如果是某个具有整系数的多项式方程的解，便称之为代数数。比如代数方程 x²+x-1=0 这个代数方程的根就是代数数。而实数中，不属于代数数的数就是超越数。当然，这只是从定义上这样规定了，但事实上是否存在不是任何一个具有整系数的多项式方程的的根的这样一个超越数呢？于是许多数学家的工作就投入到寻找超越数当中。历史上第一个超越数，是由刘维尔发现的。后来相继证明了π，e 都属于超越数。

除此之外，数系还应该包括虚数、复数、四元数、八元数等。其中复数在电磁学领域运用的非常广泛。而四元数、八元数等只在非常狭小的领域中有用处。当然，我们可以按照这些数的构造法则自己来构造数。