数学工具

许秋雨，2021.8.27

做偏系统及算法的科研人员都知道数学工具的重要性，因为大家在做科研（做论文）时往往都被卡在数学上。有很多人都在寻找新的或者旧的数学工具，对自己的研究，希望能神斧天降，如，给出最优解，证出收敛性，算出简单公式等等。就我过去近四十年的经验，下面我想讲几句真心话。

很多高大上的数学概念真的帮不了你。如前一段时间我自己学习了一下自由概率理论，暂且不说它是否是高大上（其实还不能算，因为它还算是看得见摸得着的），反正它里面的概念很难能弄明白，牵涉到太多数学上不同领域中的概念。本来以为对随机矩阵真有什么巨大作为，后来发现它其实也只有一些简单的粗线条的应用。

我个人觉得，越是高深的抽象的数学，所能做的就越是粗线条，抓到的越是指数的指数。当然也许它们是越本质，比如数一个物体中的洞的个数。很多时候，高深的数学关心的是某些不变量，但是遗憾的是这些不变量也许要等到人类在地球上消失后才发生。

数学上很多被关心的本质与工程上的真不一样。如生物中的DNA，也许数学很简单，但是DNA组装出了各种生命。如电子工程上的芯片，需要越小越好，然后就可以像搭积木一样，组装出各种大小的电子产品。

我觉得对做偏系统偏算法工程研究的人来说，对落实到实处最实惠的数学有四个。第一个是某类矩阵的逆，及它们的特征值表示或者估计等。第二个是某随机变量的分布函数或概率密度函数的解析表示式。第三个是某个积分或级数求和公式。第四个就是数数，把某类数数清楚或者大致数清楚，如组合等。

当然所有的数学都联系在一起，比如上面的第二个，第三个，及第四个都很有关系，而数学中的很大部分也是为上面四个服务的，尽管有不少数学听似高深莫测。其实最最本质的数学还就是顾名思义的数数，这是为啥数论才是数学的皇冠：

数／数学／论。