特征值是树干，特征向量里的元素是树叶

许秋雨，2019年11月16日

绝大多数数学（如果不是所有的话）到最后无非就是解线性方程组，求多项式根，或者数数。前两个都是解方程，其实算是计算，而计算也算是数数。

解线性方程组就是线性代数，即矩阵论。绝大多数工程问题最后都会归结到线性代数的问题。而特征分解又是线性代数的核心。任何在特征分解上的新结果都是可庆可贺的。这也是为什么前几天陶哲轩等人的一篇短文能变网红的原因，里面当然也有因为陶哲轩是最著名的数学家了。遗憾的是，后来发现他们的结果并非是新的，早在上个世纪60年代末就已经出现。

不过也难怪，正因为线性代数的基础性以及各种特殊性，它永远是数学家追随的目标，与数论一样。现在，仍然有不少著名的数学家正在对一些特殊的矩阵求逆。如果你能对一类新型矩阵表示出它们的逆，你就大功告成了。正如我以前说过，现在图信号处理的本质就是对有多个零元素矩阵的特征值分析。但是众所周知，找出矩阵元素与特征值的直接关系是难如登天，不光对图信号处理人员是，对古今数学家也一样。你可以白天想它夜里也想它，你可以翻来覆去做迭代，但你很难得出有本质意义的结果。当然你也可以在空集上盖出像癌瘤一样巨大的洋房。

正因为线性代数的系统性和特殊性，世界上有很多著名期刊。其中之一就是《Linear Algebra and its Applications》。它现在已经到587卷（volume)了，我记得它是一月双刊，每刊有差不多一寸厚，里面发表的结果应该说，如果不全是新的话，绝大多数都应是新的。大家可以想象，线性代数有多少新结果已经在那里摆着了，对某一问题的外部人员来说，一下要找到所有有关已经存在的结果并不易，这也是为啥陶哲轩等写那篇短文的原因。

其实即使陶哲轩等人的短文里的结果是新的，它的意义也并非有人们认为的那么大，当然它是一个有趣的性质。我个人认为，特征值远比特征向量里的元素重要。特征值是树干，而特征向量里的元素只是树叶。