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自由概率理论简介 精选

已有 3132 次阅读 2019-2-27 08:06 |系统分类:科研笔记

自由概率理论简介

 

现在啥都是个大字,如大数据,大规模天线阵等等。这里面很容易就会面对大维矩阵的计算问题。大家都知道,求矩阵特征值永远是数学中的中心问题之一。对大维矩阵计算也不例外。

 

对随机矩阵的特值分布的研究应该是自从有概率论就有,如许宝騄先生上世际40年代就有研究。后来Wigner得出,如果Hermitian方阵里的所有上三角上(包括对角)的元素都是高斯独立同分布的话,那么当矩阵维数趋于无穷大时,其特值趋于半圆分布。它叫Wigner半圆律。

 

上个世纪80年代,Voiculescu发明了自由概率理论(free probability theory)。他最早的出发点是想解决冯诺依曼代数的同构性的老问题(1967年),后来无意中他的结果把Wigner半圆律大大的推广到了任意有限多个随机矩阵的联合分布。且说了,大维随机矩阵很接近自由了。我开玩笑说,就像穿着衣服的猩猩,当空间维度越来越大时,猩猩们身上穿的衣服被抖得越来越光,最后全光了,当即就完全自由了。

 

由于自由概率理论可以用来求大维矩阵特值的渐近分布,过去几年,又兴起大规模天线阵通信,这两者一拍即合,它被用来求大维信道的传输率。听上去似乎很好,遗憾的是,东西是好,但骨头很硬。自由概率中涉及到太多的数学符号和数学概念,据我不完全统计,里面有算子代数,概率论,组合数学,还有复分析。如此庞大的数学阵容,不光让很多学数学出生的人望而却步,更让不是学数学出身的研究人员不堪重负。

 

最近我心血来潮,花了不少时间学习了这个题目。一开始同样比较摸不到头脑,后来终于有了一些领唔。我心想,为啥必须一上来就要用这么多数学呢?我觉得,如果只是理解和应用,完全没有这个必要。所以就写了一个我自认为是通俗易懂的短文,现放在我的主页上,供大家批评指正。


https://www.eecis.udel.edu/~xxia/Free_Probab.pdf


或者

https://arxiv.org/pdf/1902.10763.pdf (arXiv:1902.10763v1)





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