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本文谈的是作圆锥曲线上的点,与给定的五条直线AB、BC、CD、DE、EA相切。方法如下(其中F是已知直线BC与ED的交点,G是已知直线AB与DC的交点):
1.连接AF、BE、BD、GF;
2.设以上各线段的中点分别为M、N、P、Q,连接MN、PQ并延长,交于点O;(O点是圆锥曲线的中心)
3.作BC的平行线,与BC到O点的距离相等,分别交直线ED于K,交CD于L;
4.连接CK、FL并延长,二者交于点R;
5.连接RO并延长,交BC于点S,交KL于点T。
S、T即为所求圆锥曲线与BC、KL的切点。(后略)
牛顿的《原理》里还有一些作图题,不过我觉得没有必要写了。而前面我写过的这些作图,如果是用射影几何来研究,估计也能简化不少。我手头就有这样一本《直线作图》的电子版,里面专门提到利用帕斯卡定理和布里安香定理(书中译为巴斯加定理和白朗松定理,二者互为对偶,都是射影几何里重要的定理)作圆锥曲线上点的例子,包括给定五点、给定四线一点、给定五线这几种情况,而把其它情况作为练习。下面是该书封面和其中两个问题的做法,可以看出比牛顿的方法简化不少。
【苏】斯莫高尔茹夫斯基著,王联芳译,科学普及出版社1963年
我写这个系列,原因无他,就是感觉自己以前的文章硬货太少,怕今后越来越流于空谈。所以下决心写点比较硬核的内容。这个系列就到这里为止了,今后如果还有可以分享的内容,再写也不迟。愿与读者共同进步。
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