刘瑞祥

本文为微信公共号遇见数学第三届征文参赛作品

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　　所谓“数学之美”，也是个老生常谈的话题了，我不揣冒昧，也谈谈我的认识。

数学，美在简洁

　　有这样一个问题：给你平面坐标系上的三个定点，求过这三个定点的圆的方程。如果让普通的中学生来求解，肯定是先作出其中两点连线的垂直平分线方程，然后再作一垂直平分线方程，继而求交点、半径，才能得到圆方程，多么麻烦。但数学家不是这样，他们直接写出圆的方程：

　　这是多么的简洁。利用行列式的性质立刻可以看出，(x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃) 均满足这个方程，所以这个方程确实是过已知的三个点，而且x²和y²的系数相同、没有xy项，完全符合圆的方程特点。

　　该方程不但适用于一般情况，也适用于退化情况：只要将方程按第一行（或第一列）展开，马上可以看出当且仅当第一项的余子式为零时，这个方程的二次项系数为零，即此图形退化为直线，而这个余子式恰好就是以已知点为顶点的三角形面积的二倍。换言之，当且仅当这三个点代表的三角形面积为零（此时三点共线），所求的过这三个点的图形为直线。

　　可能有人会说，前面的行列式如果展开的话，并不简洁，那么请看微积分基本定理：

以一个式子沟通了导数和积分之间的关系，何等简洁？

　　不但数学式子是简洁的，数学理论也是简洁的。《几何原本》把整个几何的知识体系都建立在了五条公设和五条公理上，即使到了现代公理体系的经典著作《几何基础》，也只有二十条公理，而这些公理能推出的命题则不可胜数。

数学，美在奇妙

　　这里的奇妙有两方面的含义，一是结论本身的奇妙，二是求解（求证）过程的奇妙。晚年的爱因斯坦回忆儿时曾经谈到“一本关于欧几里得平面几何的小书”，并且举了一个例子——三角形的三个高交于一点。这个定理的神奇之处在于，一方面它很不容易由观察得出，另一方面也在于它的一个著名的证明过程居然会用到四点共圆，而这个定理本身无论前提还是结论都和圆毫无关系。

　　能体现数学之奇妙的还有尺规作图。众所周知的是，正七边形不能用尺规作出，但正十七边形居然可以，甚至可以用单独一只圆规或者单独一把尺子（配合一个已知圆）作出，真可谓神乎其技。

　　类似的惊奇还出现在“有理数和整数一样多”“实数比有理数多得多”的证明中。乍看起来，无穷多的东西怎么能比较多少？但是数学家能够像普通人处理2+2=4一样处理无穷，真是不可思议。可是另一方面，有时数学家处理的研究对象又是很少的，比如所谓的布尔代数，只涉及两个对象——0和 1，很难想象数学家会研究这么“贫乏”的东西，更难以想象的是，数学家居然从中得出了非常丰富的结论。

　　在学习泰勒展式和傅里叶分析前，你可曾想过，（几乎）“任何”函数都可以化成统一的形式，乃至无论函数本身的定义如何，都可以用四则运算来计算？笔者中学时代常困惑于“数学用表是怎样编制的”这个问题，待学完泰勒展式后这个问题迎刃而解。

　　下面两个命题从表面上看似乎是矛盾的，以至于很难相信它们竟会同时成立：一是素数是无穷多的，二是存在着任意（给定）长度的连续的合数数列。这两个命题都能用很简短的方式加以证明，其可靠性是确定无疑的。这展示了数学奇妙特性的另一方面。

数学，美在统一

　　给出平面直角坐标系上的三个点的坐标，以这三个点为顶点的三角形面积怎么计算呢？还是用行列式表示比较容易：

这里内层的竖线表示行列式，外层的竖线表示绝对值。而立体直角坐标系上四棱锥的体积公式则是

数轴上两个点的坐标，其距离则可以写作

　　看出来系数的奥妙了吗？没错，正是维度阶乘的倒数。

　　如果你取消上面的绝对值符号，那么会有更统一的结论：以平面为例，任给四个点A、B、C、D，则有S_ABC=S_ABD+S_BCD+S_CAD，这里的 S是带号面积，以角标下第一个点的坐标为(x₁,y₁)、第二点的坐标为(x₂,y₂)、第三个点的坐标为(x₃,y₃)。这样处理，无论点 D 在三角形 ABC的内部还是外部，结论都是一样的。

　　仍以前面说过的过平面上已知三点的圆方程为例，可以方便地扩展为三维空间乃至n维空间里 (n+1)个点的球方程。

　　体现数学统一性的还有求最值的方法。笔者在高中时代为了求最值可没少受罪，比如什么直接法、函数增减法、判别式法等等（那时高中还不讲导数），但是到了大学发现，原来求最值只要先求得导函数再解方程，然后比较一下就可以了啊。

数学，美在严谨

　　培根曾说，数学使人严密。有几个学生在初中没有受过“有且仅有”“当且仅当”一类字眼的折磨？还有就是证明一个东西是另一个东西的“充要条件”，或者在证明轨迹的时候要先证明一次“符合条件的点在所求线段上”，再证明一次“不符合条件的点不在所求线段上”，当时觉得多此一举，但是后来才知道只有这样才能保证正确性。

　　另外的例子是在学习微积分时，先要背所谓的 ε-δ定义，这个已经很绕嘴了，什么“任给”、“存在”、“当”……然后每学一个定理时，总是要注意前提——函数是在开区间里连续，还是在闭区间里连续，或者是开区间里可导，还是闭区间里可导。连续还有一致连续，非一致连续，间断还有第一类间断点、第二类间断点，收敛还有条件收敛、绝对收敛……然而这正是数学的特质。她以严谨的特性，筛选出了真正的裙下之臣。

　　在缺乏逻辑传统和逻辑课程的中国，数学的严谨特质，是一种可贵的补充。其中，初等数学领域中的证明题是特别有利于培养“言之有据”等逻辑规则的。这里容不下花言巧语，容不下转移话题，不能借助类比等手段。你必须以“事实”（所给条件）为依据，以“法律”（公理、定义、定理）为准绳，脚踏实地进行论证，有一说一，有二说二。说到这里，有一种应试倾向应该得到纠正，那就是让学生遇到不会的题目去“蒙”，或者把条件罗列一下直接写个结论。笔者认为，理想的教学方法是，要求学生会做的题目要做对，不会的地方要老实留空，但这主张实在难以实行。

　　关于数学之美，当然可以谈论的地方还有很多，比如很应该从抽象之美的角度谈一谈（群论、线性代数可以作为例子），还有数学研究内容之丰富和有力可能也是数学之美的组成部分，但笔者能力所限，只能避而不谈了。其实就是以上内容，可能也不免谬误或者不当，敬请读者指正。