3.证明直线平行的命题

• I.27——如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等，则这二直线互相平行。

• I.28——如果一直线和两直线相交所成的同位角相等，或者同旁内角的和等于二直角，则这二直线互相平行。

• I.30——一些直线平行于同一条直线，则它们也互相平行。

• I.33——在同一方向（分别）连接相等且平行的线段（的端点），则连成的线段也相等且平行。

• I.39——在同底上且在同一侧的相等三角形必在相同二平行线之间。

• I.40——等底且在底的同侧的相等三角形也在相同二平行线之间。 

• VI.2——如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。（后半部分）

4.证明直线垂直的命题

• I.定义10——一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角彼此相等，两角皆称为直角，其中一条称为另一条的垂线。

• 公设4——凡直角都相等。

• I.48——如果在一个三角形中，一边上的正方形等于整个三角形另外两边上正方形的和，则夹在后两边之间的角是直角。

• III.16——由一个圆的直径的端点作直线与直径成直角，则该线落在线外，又在这个平面上且在这直线与圆周之间不能再插入另外的直线；而且半圆角大于任何锐直线角，而余下的角小于任何锐直线角。（前半部分）

• III.18——如果一条直线切于一个圆，则圆心到切点的连线垂直于切线。

• III.31——在一个圆内半圆上的角是直角；在较大弓形上的角小于一直角；且在较小弓形上的角大于一直角；此外，较大的弓形角大于一直角；且较小的弓形角小于一直角。（前半部分）