||
说明:I.4即为第一卷命题4,余类推;命题出自兰纪正、朱恩宽翻译的《几何原本》
1.依据定义
I.定义10——一条直线与另一条直线相交所形成的两邻角彼此相等,两角皆称为直角,其中一条称为另一条的垂线。
V.定义5——有四个量,第一量比第二量与第三量比第四量叫做相同比,如果对第一与第三个量取任何同倍数,又对第二与第四个量取任何同倍数,而第一与第二倍量之间依次有大于、等于或小于的关系,那么第三与第四倍量之间便有相应的关系。
VI.定义1——凡直线形,若它们的角对应相等且夹等角的边成比例,则称它们是相似直线形。
2.线、角转化
I.4——如果两个三角形中,一个的两边分别等于另一个的两边,而且这些相等的线段所夹的角相等,那么,它们的底边等于底边,三角形全等于三角形,这样其余的角也等于相应的角,即那些等边所对的角。(线转化为角)
I.5——在等腰三角形中,两底角彼此相等,并且若向下延长两腰,则在底以下的两个角也彼此相等。(线转化为角)
I.6——如果在一个三角形中,有两角彼此相等,则等角所对的边也彼此相等。(角转化为线)
I.8——如果两个三角形的一个有两边分别等于另一个的两边,并且一个的底等于另一个的底,则夹在等边中间的角也相等。(线转化为角)
III.14——在一个圆中等弦的弦心距也相等;反之,弦心距相等,则弦也相等。(一组线转化为另外一组线)
III.28——在等圆中等弦截出相等的弧,优弧等于优弧,劣弧等于劣弧。(线转化为弧)
3.位置关系与数量关系的转化
I.14——如果过任意直线上一点有两条直线不在这一条直线的同侧,且和直线所成邻角和等于二直角,则这两条直线在同一直线上。(共线关系转化为等角关系)
I.27——如果一直线和两直线相交所成的错角彼此相等,则这二直线互相平行。(等角关系转化为平行关系)
I.29——一直线和两条平行直线相交,所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角的和等于二直角。(等角关系转化为平行关系)
I.47——在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。(垂直关系转化为面积和)
III.18——如果一条直线切于一个圆,则圆心到切点的连线垂直于切线。(相切关系转化为垂直关系)
III.22——内接于圆的四边形其对角的和等于两直角。(四点共圆转化为两角和关系)
4.借助传递性
公理1——等于同量的量彼此相等。(量的传递性)
I.30——一些直线平行于同一条直线,则它们也互相平行。(平行的传递性)
V.7——相等的量比同一个量,其比相同;同一个量比相等的量,其比相同。(量的传递)
V.11——凡与同一个比相同的比,它们也彼此相同。(比的传递)
VI.21——与同一直线形相似的图形,它们彼此也相似。(相似的传递)
5.借助和差与比例
公理2——等量加等量,其和相等。
公理3——等量减等量,其差相等。
I.47——在直角三角形中,直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。(面积和)
VI.1——等高的三角形或平行四边形,它们彼此相比如同它们的底的比。(面积比)
6.反证法(本内容不同于以上,下面给出的是用反证法证明的命题而非反证法的依据)
I.7——在已知线段上(从它的两个端点)作出相交于一点的二线段,则不可能在该线段(从它的两个端点)的同侧相交于另一点的另外二条线段,使得作出的二线段分别等于前面二线段,即每个交点到相同端点的线段相等。
I.29——一直线和两条平行直线相交,所成的内错角相等,同位角相等,且同旁内角的和等于二直角。
I.30——一些直线平行于同一条直线,则它们也互相平行。
III.4——如果在一个圆中,有两条不经过圆心的弦彼此相交,则它们不互相平分。
V.9——几个量与同一个量的比相同,则这些量彼此相等;且同一个量与几个量的比相同,则这些量相等。
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-4-20 04:48
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社