刘瑞祥

　　标题中的“理论基础”即是“几何基础”，即与几何证明有关的公理体系等问题。众所周知，传统的几何学是在公理、定义之上逻辑地展开的，公理、定义就相当于“已知条件”，所以要研究几何证明题，必须考虑所依据的公理。

　　窃以为，彭翕成、张景中合著的《仁者无敌面积法》就没有注意到这一点。请看书中关于“等角对等边”的的证明：

　　这里提到的“共角定理”，指的是同一页中的下面内容：

　　显然，这里用到了“等高三角形面积之比等于底的比”这个依据，而这需要以“平行公理”作为前提。换言之，如果“平行公理”不成立（即在所谓“非欧几何”里），那么共角定理即不能成立，而前面所引“等边对等角”的证明也就站不住脚了。事实上，现在一般的初中几何课本里对于等边对等角的证明，完全和“平行公理”无关，也就不存在上述的毛病。

　　在网络上，还有人用以下的方法来证明这个并不复杂的定理（图略）：

作三角形ＡＢＣ的外接圆，因为角Ｂ和角Ｃ相等，则相等的圆周角所对的弦ＡＣ、ＡＢ相等。

　　这个方法看上去很“巧妙”，但用本文提到的标准衡量，也是有问题的，因为这里默认了任意三角形必然有外接圆。而只有在平行公理成立的条件下，因为同一直线的垂线和斜线一定相交，才能保证任意三角形有外接圆。因此，这个证明也是不合适的。

　　本来，“等角对等边”这是很简单的定理，和是不是欧氏空间无关，但因为本文的两个证明都默认了平行公理，从一个角度来说是把证明的适用范围缩小了，从另一个角度来说是主观地增加了条件。

PS:刚才通过微信公共号和本书作者之一彭翕成先生联系了，他推荐了《几何定理机器证明的几何不变量方法》一书的第六章，是讲非欧几何证明的，但是我目前没有这本书，因此无缘过目。下面仅是通过网络找到的目录截图，并对彭先生的回应表示感谢，并删掉前面原来所说的““面积法”从本质来说就无法证明“绝对几何”中的命题”一句：