卜算子·哥德巴赫猜想

偶数若拆开，

两素和相映。

奇数三分已证明，

均等几乎定。

密率助筛圆，

堆垒寻蹊径。

陈氏加权式最佳，

不过单双并。

（作于2017年11月5日，原载于《中国科学报》2018年1月12日）

注释：

偶数：不小于6的偶数。

两素和：两个奇素数之和。

奇数：不小于9的奇数。

奇数三分：三素数定理，即每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。

均等几乎：每一个充分大的奇数可表为三个几乎相等的奇素数之和。

筛圆：筛：筛法，圆：圆法。筛法、圆法、密率是研究哥德巴赫猜想的数学理论方法。

堆垒：堆垒数论，研究加性问题的数论分支。哥德巴赫猜想属于堆垒数论的研究领域。

陈氏：中国数学家陈景润。

加权：陈景润提出的加权筛法。

式最佳：陈景润证明的（1,2）。

不过：不超过。

单双并：每一个充分大的偶数可表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。

每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和，这称为偶数的哥德巴赫猜想。奇数的哥德巴赫猜想已经得到证明，即每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和。这三个奇素数可以几乎相等。

堆垒数论提出了筛法、圆法、密率等理论与方法，在哥德巴赫猜想研究上取得了突破。中国数学家陈景润证明了每一个充分大的偶数可表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和，这是迄今为止哥德巴赫猜想研究的最好结果。

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数论是研究整数性质的数学分支。德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）曾说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”数论中有很多著名的难题，哥德巴赫猜想就是其中的一个。苏联数学家辛钦（А.Я. Хинчин，1894-1959）把哥德巴赫猜想比喻为“皇冠上的明珠”。

哥德巴赫猜想的由来

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）给瑞士数学家欧拉（Léonhard Euler，1707-1783）写信道：“我也想同样冒险提出一个假说：每一由两个素数组成的数都等于许多数的和，这些数的多少随我们的意愿（包括1），直到所有的数都是1的情况为止……我发现这一假定如果在n的情况下成立且n+1可被分做两个素数的和，则n+1的情况可以很严格地证明。证明是非常简单的。看来无论如何，任何大于2的数都是三个素数的和。”

1742年6月30日，欧拉回信道：“至于每个可分为两个素数之和的数可分拆为尽可能多的素数之和这一论断，可由你先前写信向我提到的你的观察，即‘每一偶数是两个素数的和’来说明和证实。事实上，设给定的n为偶数，则它是两个素数之和，又因为n-2也是两素数的和，所以n一定是三个素数之和，同理也是四个素数之和，如此继续。但如果n是一奇数，则它一定是三个素数的和，因为n-1是两个素数之和，于是它可分拆为尽可能多的素数之和。无论如何‘每个数都是两个素数之和’这一定理我认为是相当正确的，虽然我并不能证明这一点。”[1]

欧拉是当时欧洲首屈一指的数学家，哥德巴赫的问题表述如此简单，欧拉却不能证明，引起了大家的注意。人们纷纷尝试，也都不能证明，这一问题于是被称为“哥德巴赫猜想”。

1770年，英国数学家华林（Edward Waring，1734-1798）在他的《代数沉思录》一书中，首先给出了哥德巴赫猜想的如下形式：每个偶数是两个素数之和，每个奇数是三个素数之和。[2]

用现在的数学语言来说，就是：（A）每个不小于6的偶数都是两个奇素数之和；（B）每个不小于9的奇数都是三个奇素数之和。通常称（A）为偶数的哥德巴赫猜想，（B）为奇数的哥德巴赫猜想。因为2n+1=2(n-1)+3，n为正整数，所以如果（A）成立，则可立即推出（B）成立。[3]

1900年，德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）在法国巴黎召开的第二届国际数学家大会上，作了题为《数学问题》的著名演讲。他提出了23个重要的尚未解决的数学问题，作为以后数学研究的方向，其中哥德巴赫猜想是第8问题的一部分[4]。

1912年，德国数学家兰道（Edmund Landau，1877-1938）在英国剑桥召开的第五届国际数学家大会上指出：不用说证明哥德巴赫猜想，就是证明“存在一个正整数C，使得每一个正整数都可以表示为不超过C个素数的和”这个较弱的命题，也是现代数学家力所不能及的。[5]

    1921年，英国数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877-1947）在丹麦哥本哈根召开的国际数学家大会上宣称：哥德巴赫猜想的困难程度“是可以与数学中任何未解决的问题相比拟的”。哥德巴赫猜想不仅是数论，也是整个数学中最困难的问题之一。[6]

哥德巴赫猜想研究的主要进展

当国际数学界对哥德巴赫猜想感到无能为力并做出悲观预言的时候，1920年前后，英国数学家哈代、李特尔伍德（John Edensor Littlewood，1885-1977）和印度数学家拉马努金（Srinivasa Aaiyangar Ramanujan，1887-1920）提出了“圆法”，挪威数学家布伦（Viggo Brun）提出了“筛法”，1930年前后苏联数学家施尼尔曼（Л.Г.Щнирельман，1905-1938）提出“密率”的概念。此后在不到50年的时间里，沿着这几个方向对哥德巴赫猜想的研究取得了惊人的丰硕成果。[7]

为了表述方便，以下用“（a,b）”表示：每一个充分大的偶数是一个不超过a个素数的乘积与一个不超过b个素数的乘积之和。偶数的哥德巴赫猜想就是证明（1,1）。

1920年，挪威数学家布伦对古老的埃拉托斯特尼（Eratosthenes，约公元前276-约前195）筛法进行了重要改进，证明了（9,9），开辟了应用筛法研究哥德巴赫猜想及其他数论问题的新途径。利用布伦筛法，数学家们后来证明了（7,7）、（6,6）、（5,5）、（4,4）等。

1923年，英国数学家哈代、李特尔伍德证明了：如果广义黎曼猜想成立，则充分大的奇数可以表为三个奇素数之和，几乎所有的偶数都能表为两个奇素数之和。

1933年，苏联数学家施尼尔曼利用他的密率理论和布伦的筛法，证明了：存在一个正整数k，使得每一个≥2的正整数都可以表示为不超过k个素数的和，解决了兰道在1912年提出的问题。

    1937年，苏联数学家维诺格拉多夫（Иван Матвеевич Виноградов，1891-1983）利用圆法，并以其独创的三角和估计方法证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，基本解决了奇数的哥德巴赫猜想，这一结果通常被称为三素数定理。

1941年，苏联数学家林尼克（Юрий Владимирович Линник，1915-1972）提出了大筛法，库恩（P.Kuhn）提出了加权筛法。

1948年，匈牙利数学家瑞尼（Alfréd Rényi）改进了林尼克的大筛法，证明了（1,b），第一次把（a,b）中的a定为1。b没有定出具体数值，但按照他的算法，b将是很大的数字。

1950年前后，挪威数学家塞尔伯格（Atle Selberg）利用求二次型极值的方法对埃拉托斯特尼筛法做了另一重要改进，可得到筛函数的上界估计，这种筛法称为塞尔伯格筛法。利用塞尔伯格筛法，数学家们证明了（3,4）、(3,3)、(2,3)等。

1966年，中国数学家陈景润提出了一种新的加权筛法，宣布证明了（1,2），详细证明于1973年发表，这是迄今为止哥德巴赫猜想研究最好的结果。

在哥德巴赫猜想的研究中，各国数学家们你追我赶，不断地刷新着研究结果的世界纪录，下表是主要成果及其完成者的一览表。[8]

表1  哥德巴赫猜想研究成果一览表

中国数学家的杰出贡献

华罗庚是中国最早研究哥德巴赫猜想的人。[9]华罗庚（1910-1985），1910年12月12日出生于江苏省金坛县，1924年初中毕业，在职业学校学习一年后，因家贫辍学，刻苦自修数学。1930年在《科学》发表论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不能成立之理由》，得到数学家熊庆来（1893-1969）的赏识，被邀请到清华大学工作。1948年被美国伊利诺依大学聘为教授。新中国成立后，华罗庚毅然放弃在美国的优厚待遇，于1950年春回到祖国。1955年当选为中国科学院学部委员（院士）。曾任中国科学院数学研究所所长、中国科学技术大学副校长、中国科学院副院长等职。1985年6月12日在日本东京大学讲学时，因突发心脏病逝世。

    1938年华罗庚证明了几乎所有的偶数都可以表为二个奇素数之和，他还证明了：对任意给定的正整数k，几乎所有的偶数都可以表为p₁+p₂^k, p₁、p₂为奇素数。同年，华罗庚证明了：对任意给定的整数k，每一个充分大的奇数都可表为p₁+p₂+p₃^k，p₁、p₂、p₃为奇素数。[10]

    1940年华罗庚完成了著作《堆垒素数论》[11]的写作，发展了圆法，论述了三角和的估计及其在华林-哥德巴赫问题上的应用，该书被誉为“优秀的专著”，成为了几代数论学家征引的经典文献。[12]

1952年中国科学院数学研究所成立，华罗庚出任所长。华罗庚组建了数论研究组，并亲任组长，组织和领导了“哥德巴赫猜想讨论班”，一直坚持到1958年。讨论班极大地推动了哥德巴赫猜想研究在中国的发展，培养了一批数论研究专家，王元、潘承洞、陈景润是其中的杰出代表。

王元（1930- ），1930年4月15日生，江苏镇江人。1952年毕业于浙江大学数学系，被推荐到中国科学院数学研究所工作。1980年当选为中国科学院学部委员（院士）。曾任中国科学院数学研究所所长、中国数学会理事长等职。

    王元是中国首位把筛法用于哥德巴赫猜想研究并取得重要进展的人。1956年王元证明了（3,4），即一个大偶数可以表为一个不超过三个素数的乘积与一个不超过四个素数的乘积之和。[13]同年，王元证明了：在广义黎曼猜想成立的前提下，大偶数可以表为一个素数与一个不超过四个素数的乘积之和。[14]1957年，王元证明了（3,3），（a,b）（a+b￡5）与（2,3）。[15]1962年，王元证明了（1,4）。[16]

    王元在研究哥德巴赫猜想时，一次听说科学院图书馆进口了一批俄文杂志，当即跑到图书馆去借。因这批杂志刚到，还未编目，堆满一地，不得出借。在征得图书馆管理员同意后，王元花了一整天的时间，把有用的文章抄了下来。王元取得一系列成果后，华罗庚很高兴，他对王元说：“真想不到你在哥德巴赫猜想本身就做出了成果。”[17]

潘承洞（1934-1997），1934年5月26日出生于江苏省苏州市，1956年毕业于北京大学数学力学系。1957年考取北京大学教授闵嗣鹤（1913-1973）的研究生，主攻数论研究。1961年研究生毕业到山东大学任教。1991年当选为中国科学院院士。曾任山东大学数学系主任、数学研究所所长、山东大学副校长、校长等职。1997年12月27日在山东济南病逝。

1962年，潘承洞在哥德巴赫猜想研究上取得重要进展，他先是证明了（1,5）[18]，把匈牙利数学家瑞尼1947年的结果（1，b）中的天文数字b减小为5，是第一次定量地而且是低记录地引向了接近（1,1）的境界[19]。接着他又证明了（1,4），即大偶数可以表为一个素数及一个不超过四个素数的乘积之和。[20]

潘承洞在证明（1,5）时十分着迷，他给王元写了很多信，把自己的结果不断地告诉王元，王元不相信潘承洞的结果，每每予以反驳，潘承洞再加以辩解，最后王元承认潘承洞的结果是对的。那段时间，潘承洞给王元一共写了六十多封信，且彼此的信都写得很长，而同时潘承洞只给自己的未婚妻写了两封信。[21]

陈景润（1933-1996），1933年5月22日出生于福建省闽侯县胪雷村，1953年毕业于厦门大学数学系，被分配到北京四中任教。1955年回厦门大学数学系任助教，期间因改进了华罗庚《堆垒素数论》中的结果，1957年被调到中国科学院数学研究所工作。1980年当选为中国科学院学部委员（院士）。1984年被确诊患帕金森综合症，此后一直与疾病斗争，坚持科研。1996年3月19日在北京逝世。

1966年，陈景润宣布证明了（1,2），但没有给出详细证明，只是简略地概述了他的方法。[22]1973年，陈景润发表了（1,2）的全部证明。[23]这一结果被国际数学界命名为“陈氏定理”，并称之为“从筛法的任何方面来说，它都是光辉的顶点”。对陈景润取得的成果，华罗庚曾单独对王元说：“我的学生的工作中，最使我感动的是（1,2）。”当王元提起他学生的一些其他纯粹数学结果时，华罗庚仍然重复一遍：“最使我感动的是（1,2）。”[24]

陈景润证明（1,2）时正是“文革”时期，那时他住在由厕所改成的不到6平方米的楼道小房间里。在“文革”中陈景润受到批判，他曾从中关村88楼的三楼窗口跳下来，幸好二楼的窗前有一块突出的平台，陈景润落在平台上面，保住了性命，但腿部跌青了一大块。[25]在艰难困苦的环境下，陈景润坚持哥德巴赫猜想研究，并最终取得卓越成就，为中华民族在世界科学前沿争得了一席之地。

1978年1月，作家徐迟（1914-1996）的报告文学《哥德巴赫猜想》在《人民文学》当年第1期刊出，之后《人民日报》、《光明日报》、《中国青年报》等各大报刊和电台争相转载转播。陈景润一夜之间闻名全国，他的故事为人们津津乐道，成为人们心目中的科学传奇英雄。成名后，陈景润谦虚地说：“在科学的道路上，我只是翻过了一个小山包。真正的高峰还没有攀上去，我还要继续努力。”[26]

原中国科学院院长周光召（1929- ）在《陈景润传》的序中写道：“陈景润视事业如生命的献身精神，他追求真理、勇攀高峰、勤于探索、精益求精的创新精神，他甘于寂寞、安贫乐道、脚踏实地、艰苦奋斗的拼搏精神，他的科学道德、严谨学风以及谦虚谨慎的精神，是我们宝贵的精神财富。”[27]为纪念陈景润，1999年，国际编号为素数“7681”的小行星，被命名为“陈景润星”。[28]

1982年，陈景润、王元、潘承洞的“哥德巴赫猜想研究”获得了第二届国家自然科学一等奖。

谁是哥德巴赫猜想的终结者？

哥德巴赫猜想提出已经近300年了，至今仍未解决。人们在证明哥德巴赫猜想的过程中，提出了新的理论与方法，丰富了数学的内容，促进了数学的发展。几代数学家们前仆后继，刻苦攻关，为科学进步做出了贡献。

另一方面，由于哥德巴赫猜想的内容表述很简单，所以也吸引了很多业余数学爱好者。他们宣称“证明”了哥德巴赫猜想，他们把自己的“证明”，有的寄到专业数学机构，有的在报刊上发表，有的甚至出版了，但是均得不到数学界的认可。

对此，王元曾一针见血地指出：“国内确有相当多的人在研究哥德巴赫猜想。由于他们的研究不得法，主要是他们的数学基础太差，不了解这个问题研究的历史与成就，他们仅仅从整数的定义出发来研究这个猜想，所以浪费了很多宝贵的光阴，并无收效。”[29]

数学家杨乐（1939- ）也撰文劝业余数学爱好者不要盲目去尝试解决各种经典数学难题，他说：“在现代数学的研究领域，即使是做出很普通的成果，也需要：（1）长期的努力学习，打下良好的基础，达到大学数学系毕业的同等学力；（2）对所研究的领域已有成果、方法和最新文献有较好的掌握；（3）在所研究的课题上下一番工夫。”[30]

陈景润之所以能证明（1,2），除了他具备刻苦钻研的精神外，他在数论研究领域也打下了坚实的基础。陈景润曾把华罗庚的著作《堆垒素数论》拆开，一张张放在身上，走到哪里，带到哪里，学到哪里。[31]他后来说：“《堆垒素数论》我一共读了二十多遍，重要的章节甚至阅读过四十遍以上，华先生著作中的每一个定理我都记在脑子里了。”[32]

中国数学家在哥德巴赫猜想研究上，取得过令世界瞩目的非凡成绩，并保持着这项研究最佳成果的世界纪录。哥德巴赫猜想的最终解决，是否也能由中国学者来最终完成呢？让我们期待中国年轻一代数学家，能成为哥德巴赫猜想的终结者。

也有学者怀疑“许多至今尚未解决的数论难题”可能“既不能证明也不能否证”，要想证明它们“可能是白费力气”，认为这“开辟了证明论一个完全新的方向”。[33]哥德巴赫猜想是否是“既不能证明也不能否证”的问题，尚无法判定，值得人们去探索。

“对于研究一个问题来说，迈出开创性的第一步和走上彻底解决它的最后一步都同样是最困难的”，表面上看（1,2）和（1,1）仅“1”之差，但是“完成这最后的一步所要克服的困难可能并不比我们已经走过的道路要来得容易”。[34]要最终彻底解决哥德巴赫猜想，沿用已有的方法可能不行，“必须有一个全新的思想”[35]。

注释与参考文献

[1] 李文林.数学珍宝：历史文献精选[G].北京：科学出版社，1998：368-370.

[2] E.Waring. Meditationes algebraica[M].Cambridge,1770:217. 见：李文林.数学珍宝：历史文献精选[G].北京：科学出版社，1998：369注.

[3] 潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社，2011，2版：1.

[4] 希尔伯特第8问题是素数问题，除了哥德巴赫猜想，还包括黎曼猜想和孪生素数猜想等。

[5] 梁宗巨.世界数学史简编[M].辽宁人民出版社，1980：496.

[6] 王元.哥德巴赫猜想研究[G].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1987：2.

[7] 潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社，2011，2版：2-13.

[8] 陈景润，邵品琮.哥德巴赫猜想[M].沈阳：辽宁教育出版社，1987：118-119；潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社，2011，2版：10-11.

[9] 王元.哥德巴赫猜想研究[G].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1987：序.

[10] 潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社，2011，2版：6-7.

[11] 《堆垒素数论》写成后，未能在国内出版，最早于1947年出版了俄文版。中文修订版于1957年由科学出版社出版，被翻译成多国文字。

[12] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：100-108.

[13] 王元.表大偶数为一个不超过三个素数的乘积及一个不超过四个素数的乘积之和[J].数学学报，1956,6:500-513.

[14] 王元.表大偶数为一个素数及一个不超过四个素数的乘积之和[J].数学学报，1956,6:565-582.

[15] 王元.论筛法及其有关的若干问题[J].科学记录，1957,1:9-11；表大偶数为二个殆素数之和[J].科学记录，1957,5:267-270.

[16] 王元.On the representation of large integer as a sum of a prime and an almost prime[J].Sci. Sin.，1962,11:1033-1054.

[17] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：198-199.

[18] 潘承洞.表偶数为素数及殆素数之和[J].数学学报，1962,12:95-106.

[19] 陈景润，邵品琮.哥德巴赫猜想[M].沈阳：辽宁教育出版社，1987：120.

[20] 潘承洞.表大偶数为素数及一个不超过四个素数的乘积之和[J].山东大学学报，1962,4:40-62.

[21] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：325.

[22] 陈景润.表大偶数为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和[J].科学通报，1966,17:385-386.

[23] 陈景润.大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和[J].中国科学，1973,16:111-128. 该论文也可见于：王元.哥德巴赫猜想研究[G].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1987：306-347；刘培杰.从哥德巴赫到陈景润[G].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008:475-496.1975年，潘承洞、丁夏畦、王元对陈景润的证明进行了简化，他们的论文转载于《从哥德巴赫到陈景润》一书的第551-561页。

[24] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：328-329.

[25] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：327.

[26] 宋力.铸梦：追忆舅舅陈景润[M].厦门：厦门大学出版社，2013：107.

[27] 王丽丽，李小凝.陈景润传[M].北京：新华出版社，1998：序.

[28] 宋力.铸梦：追忆舅舅陈景润[M].厦门：厦门大学出版社，2013：197.

[29] 王元.哥德巴赫猜想研究[G].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1987：序.

[30] 转引自：刘培杰.从哥德巴赫到陈景润[G].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2008:841.

[31] 王元.华罗庚[M].大连：大连理工大学出版社，2010：216.

[32] 宋力.铸梦：追忆舅舅陈景润[M].厦门：厦门大学出版社，2013：37.

[33] 胡作玄.第三次数学危机[M].成都：四川人民出版社，1985:132.

[34] 潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想[M].北京：科学出版社，2011，2版：13.

[35] 王元.哥德巴赫猜想研究[G].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1987：21.