运算关系

在泛代数中代数结构是在一种或多种运算下封闭的一个或多个集合。这里是一些关于代数中运算关系的介绍。

集合A上的一种运算时指将集合A的任意两个元素组合在一起产生相同集合A中的另一个元素的一种方法。

Definition: An operation * on A is a rule which assigns to each ordered pair (a, b) of elements of A exactly one element a * b in A.

There are three aspects of this definition which need to be stressed：

1.       a * b is defined for every ordered pair (a, b) of elements of A.

2.       a * b must be uniquely defined.

3.       If a and b are in A, a * b must be in A. （A is closed under the operation *.）

An operation is any rule which assigns to each ordered pair of elements of A a unique element in A.

 群(Group)的定义

 群是一种最简单和最基础的一种代数结构。群定义为一个具有某种运算的集合，具有联合性（associative），有一个中性元素（neutral element），集合中每个元素都有相反数（inverse）。

Definition：By a group we mean a set G with an operation * which satisfies the axioms:

 (G1) * is associative.

 (G2) There is an element e in G such that a * e = a and e * a = a for every element a in G.

 (G3) For every element a in G, there is an element a⁻¹ in G such that a * a⁻¹ = e and a⁻¹ * a = e.

 群通常用符号〈G, *〉表示：由集合G，运算*组成的群（运算*一般不是明确的，除非已经明确指出是哪种运算，否则一般不特指某种运算）。在实际情况中，如果没有混淆的危险，我们可以直接使用符号G来简单的表示一个群。

 举一个常见的例子：整数的加法群由集合Z和加法（addition）组成 ，用符号表示为<Z, +>，或更为简洁的表示为Z。

 群在现实生活中非常常见，自然现象中的很多代数结构都是类群。在科学应用中尤其重要的是有限群（finite groups），即具有有限数量元素的群。模n的整数群（groups of integers modulo n）是一种简单的有限群。例如模6的整数群由6个元素：{0,1,2,3,4,5}，和运算：加模6（addition modulo 6）组成。加模6的运算为：假设数字0到5在圆周上均匀分布。要将h和k两个数相加，从起点h开始，延圆周顺时针运动k个单位，最后的位置就是h+k的值。模6的整数群用符号表示为Z₆ 。

 一般来说，模n的整数群由集合：{0, 1, 2, …, n − 1}和运算加模n组成。用符号表示为Z_n 。

 交换律（commutative law）并不是在所有群里都成立，如果交换律在群G中成立，这样的群称为交换群（commutative group），更常见的称之为阿贝尔群（abelian group）。