教材中第三章内容为《单元系的相变》，第一节为“热动平衡判据”。设有一封闭系统已经达到平衡态，此时熵S极大，问这个平衡对物理有如何要求?  

对这个问题的考察，利用的武器就是先假设有对平衡态出现了小偏离，然后看系统的演化方向。而这个偏离可以是真实的，也可以用虚假的。前者对应导数，后者对应于变分。真实改变的物理基础是涨落耗散定理，形易实难；而虚假的改变的基础是虚位移(virtual displacement)原理，形难实易。

虚位移法不仅仅为王竹溪学派所用，也为俄国的Bazarov学派所用。

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Bazarov学派是对俄罗斯科学界对Bazarov(1916-2005)的盖棺定论

“Bazarov founded his own school of teaching of thermodynamics in the universities of our country.”

---- CHRONICLE，“Ivan Pavlovich Bazarov (1916-2005)”, Russian Journal of Physical Chemistry, 80(2006) 313.

 俄国官方的这个评价很是保守， 仅仅说教学学派。国际上认为这个学派其实不仅仅是教学也是科研的学派。不过在中国，甚至“王竹溪《热力学》教学学派”一说都少有附和。

Bazarov有多种著作传世，其中1983年第3版《热力学》有中文译本。沙振舜和张毓昌译，高教社，1988。

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读完王竹溪还是Bazarov，很难看出虚位移和实位移的差别。在中文文献中，直接把虚位移等同于实位移者不在少数。其实，这里只要在讲课的时候注意一点次序，就可以把虚位移和实位移不同的本质特征充分显露出来。

一，虚位移的数学条件：熵可增加也可减少

首先把这个问题转化为一个数学问题：设一个函数S有两个自变量：内能U和体积V,

S=S(U,V)

将该闭系分为任意两部分，体积分别为V₁和V₂，内能分别为U₁和U₂，而他们满足两个约束条件：

V₁+V₂=V，U₁+U₂=U

其中V和U为常数。何为虚位移? 定义很简单：约束容许的无限小位移。约束是： 

δV₁+δV₂=0，δU₁+δU₂=0

函数S=S(U,V)的改变ΔS是，

ΔS=δS+δ²S+…=( $\partial$ S₁/U₁- $\partial$ S₂/U₂)δU₁+( $\partial$ S₁/V₁- $\partial$ S₂/V₂)δV₁+...

ΔS可以增加，可以减少，当然也可以为零。也就是仅仅是约束容许，并不要求物理上真实存在。虚位移之虚，表现就在这里！

到止为此，都是数学上的要求，没有加上任何物理的条件。满足约束而违背真实物理的位移，都可能出现在虚位移里。

二，虚位移的物理要求：熵只可能减少

现在加上物理条件。

条件之一，部分1,2分别达到了热力学平衡态，也就是分别满足热力学基本热力学方程，然后有 $\partial$ S/U=1/T，S/V=p/T。

条件之二，熵已经达到极大值，所以δS=0，δ²S<0。

由于结论和选1,2部分的大小没有关系，不妨设V₁<< V₂。于是有如下关系：

δS=δS₁+δS₂=(1/T₁―1/T₂)δU₁+(p₁/T₁―p₂/T₂)δV₁

δ²S $\approx$ δ²S₁

最后得到物理结论：T₁=T₂,，p₁=p₂；C_v>0, p/V)_T<0.

三，通常分析中的一个小小瑕疵

由于很容易证明，

δ²S=―C_v/T²(δT)²+(1/T)p/V)_T(δV)²

那么，“如果要求δ²S对于各种可能的虚变动都小于零，应有C_v>0, p/V)_T<0。”

数学运算没有问题，物理结论也完全正确。

但是，此时温度已经是整个系统的一个强度量，平衡后不能变化。也就是，温度T相当于V₁+V₂=V中的V，虚位移δT=0!  此时从上面的δ²S<0出发仅仅能导致导致p/V)_T<0！

这是怎么回事?

当然，这仅仅是一两句话的问题。不过，Bazarov的推导就没有这个瑕疵！

四，结语

在利用虚位移原理讨论物理问题的时候，需要先把数学处理干净，然后加上物理条件。

虚位移中的虚，能虚到什么程度呢? 可以是完全的虚无，仅仅存在于人类的思维之中。这是何等诗情画意的一件事!

虚位移原理就是能在这种虚无中求出真实的位移来。