在学习量子力学过程中，会碰到很多拦路虎．这些拦路虎可能是纸老虎，也可能是真老虎．有些真老虎甚至会与量子力学一直共存下去．在初等量子力学的学习过程中，可以把这些拦路虎拿来练习自己的技艺．也可以拿来当磨刀石，打磨自己的思想．

风险与收益同存：如果从来没有碰到过拦路虎或者磨刀石，按Bohr的说法是，根本就没有学懂；而任何试图深入了解这些问题的初学者，很可能误入旁门．是纸老虎还是真老虎，需要得到老师的指点．

《十道量子力学口试题赏析》讨论过一些纸老虎，本文说说一只真老虎，也就是一个open problem.

量子力学首先要面对动量的量子化问题，这个问题看似简单，实际很麻烦．如果量子运动局限在曲面上时，连Weinberg都出过纰漏．因此，土著还赚过温大人的一本签名赠书．

量子力学认为算符必须厄密(Hermitian)，但数学家认为量子力学中的厄密其实是数学家要求的自伴(self-adjoint)性．众所周知，量子力学的数学基础是冯·诺依曼(von Neumann)建立的，而冯本人是卓越的数学家，现在的理解是，冯写成厄密，实际意味着自伴．物理学家很实际，认为不必那么别啰嗦，只需要要求算符有谱表示即可．何为谱表示? 对一个量子态测某力学量F，每次测量必得F的本征值之一F_n．用狄拉克符号表示，即F为一个合格的量子力学算符的充要条件为：F=sum F_n|n><n|．

量子力学教科书的始祖是狄拉克的Principles，但是证据没有表明狄拉克接受过冯·诺依曼的思想．对算符的分类，狄拉克有他自己方式．如果细读狄拉克的Principles然后站在狄拉克的角度看量子力学算符，会发现谱表示的要求太高了．在狄拉克看来，存在一些算符：

没有谱表示，但有期待值!

期待值是一系列测量值的平均，没有测量值，谈何测量值的期待值? 委员都不是，都能成常委?

为什么没有谱表示而有期待值? 这个问题伤及量子学基础! 教材对这个问题最安全的处理就是回避．再次想起来郝柏林先生在一次演讲中的话：“教科书不过是把故事编圆一点．”

最著名的例子是球坐标下的径向动量算符P_r=-iℏ(∂_r+1/r)．在氢原子的基态上，mean(P_r)=0，mean(P^2_r)=ℏ^2/a₀ (a₀为Bohr半径)．但是，这一算符不是量子力学厄密算符! 也没有谱表示．即使一些量子力学基础性问题的专著如Ballentine的《QM》，量子力学百科全书如Tannoudji的《QM》等等，都没有定义P_r和P^2_r等算符．注意：不定义这些算符，并不等于不利用球坐标，也不等于不处理微分算符∂_r等等!

为什么说这个问题伤及量子学基础?

如果承认量子力学必须引进动量算符P_r，就出现了矛盾的两方面．一方面，肯定对它有方法测量，然后得到一系列数值，所谓的期待值就是对这些一系列数值的平均．否则为什么会有期待值? 另一方面．量子力学认为，没有谱表示，就不是合格的量子力学量，不能测量!　狄拉克坚持说，这是一个合格的量子力学量．要改进的就只能是量子力学基础或者算符的理解．　

量子力学的奠基人内心的话，不一定会直接了当告诉你．你能不能读出量子力学的理论体系其实尚未完备或者算符的理解需要发展这层意思来，他摆出来的数据就在那里．而这个问题严重到什么程度，和每个人对量子力学的理解有关．

这是一个问题，但是不严重．这是我的看法．

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国内外对这个问题的一些研究现状

I  狄拉克和主流看法的分歧

It is a puzzle that Dirac simply overlooked the claim that the radial momentum P_{r}=-iℏ(∂_{r}+1/r) is not self-adjoint and "is not the r-component of the particlemomentum" which was explicitly demonstrated in 1960 ¹ and since then ^2-7, and he insists his own understanding that P_{r} "is real and is the true momentum conjugate to r", which is reflected in the last revision of his classic book on quantum mechanics that published in 1967.

1,R. H.Dicke and J. P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics (Addison-Wesley,Reading, Massachusetts, 1960)

2,P. D.Robinson and J. O. Hirschfelder, Generalized Momentum Operators in QuantumMechanics, J. Math. Phys. 4(1963)338.

3,A. M.Arthurs, Momentum operators in quantum mechanics, Proc. Natl. Acad. Sci. USA,60(1968)1105.

4, R. L.Liboff, I. Nebenzahl and H. H. Fleischmann, On the radial momentum operator，Am. J. Phys. 41(1973)976.

5,J. M.Domingos, M. H. Caldeira, Self-adjointness of momentum operators in generalizedcoordinates, Found. Phys., 14(1984)147.

6,C. S.Wang, Generalized coordinate representation in quantum mechanics, Am. J. Phys.57(1989)87.

7,G. Paz,The non-self-adjointness of the radial momentum operator in n dimensions, J.Phys. A: Math. Gen. 35(2002)3727--3731.

 但是，土著相信狄拉克肯定有其道理，相信他的眼光比我们深远!

II  国内对这个问题的研究的一点讯息

国内这个问题的集中讨论，起源于上海交通大学数学家陶宗英先生的一篇文章，曾经在《大学物理》等刊物上激起过轩然大波．清华、复旦、中科大、北师大、中山大学等等高校的很多先生都发表了观点．但是，最后的决定似乎是：最好回避!

附录：量子力学动量算符$p_x$是自伴算符的数学证明

动量算符自伴性的数学注记.pdf