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穿过坐标的迷雾来理解氢原子 精选

已有 10490 次阅读 2013-1-12 16:45 |个人分类:大学教育|系统分类:教学心得| 量子力学, 氢原子

一,“如果谁第一次学习量子力学概念时不觉得糊涂,那么他就一点也没有懂。”

翻开任何一本初等量子力学或者量子化学教材,氢原子的量子力学解是前半部分必须介绍的内容。可以说任何理工科甚至一些文科学生,都接触过氢原子的量子力学束缚态解。但是,没有在下面三个问题上出过一点错误的学生,难说已经进入量子力学的大门。按Bohr的话说: "Anyone who did not feel dizzy when thinking about quantum theory had not understood it." 中文翻译的版权属于杨福家先生。

 

二,三个问题及其评述

问题一:氢原子基态的轨道角动量为零,那么氢原子基态的能量全部来自径向运动。对吗?

评述:这个问题几乎是每一位量子力学的学者都会碰到的问题。在罗教明教授的博客里有专门的讨论。但是罗教授的问答基于他的非传统量子力学氢原子模型。例如他认为“孤立氢原子处于基态时,角动量是常矢量。”这个观点极易导致误解。

问题二:利用流密度算符可以对氢原子定态求流密度的三个分量。结果是径向和子午向的分量为零,而纬向分量非零。进而可算得磁矩的三个分量,结果是只有z分量非零,而且所得磁矩和轨道角动量之比的经典力学结果(回转磁比率)一样。

评述:这是一道经典习题,中外教材中都有,例如Greiner, W. (1994). Quantum Mechanics: An Introduction, Springer, Berlin, pp. 210–211. 解法也很成熟。但是喀兴林先生认为, 这个结论是不对的。我们知道磁矩和角动量一样,不可能三个分量都取定值,这个结论与量子力学的普遍结论相矛盾。 “它给读者一个错误的图像,好像氢原子外面的电子流都是绕z轴作一圈一圈的圆周运动,好像整个电子云在绕着z轴转动。这个印象是不符合量子力学的精神的,量子力学的电子不会做这样的经典运动。

问题三:对一对经典力学量ABPoisson括号{AB},按照狄拉克的正则量子化方案,量子力学力学量AB 的对易子[A,B]必须满足对应关系[A,B]=(i hbar){A,B}.但是,对于氢原子[pθ, H]= (i hbar)(C+D),而Poisson括号为{pθ, H}= C.正则量子化方案以自洽的方式无法解释为什么量子力学中会多出一个D?

评述:Dirac的说法是:在实用时,正则量子化仅对直角坐标系成立。也就是在理论上,不知道为什么曲线坐标系下正则量子化规则不对。爱因斯坦对基本理论的要求是:是理论决定了什么才能被测量。 所以,在爱因斯坦看来,正则量子化方案有其缺陷。

在刚刚改革开放之后的1980年代,和1990年代,中国物理教学界对这个问题在界有过两番激烈的讨论。北大物理系王正行教授清华大学徐湛教授北师大梁灿彬教授,等等,都参与了讨论,但是最后问题不了了之。两番讨论之后,喀兴林先生对这个问题有一个总结如下:氢原子的哈密顿算符是没有问题的,问题出在广义正则动量pθ,的量子化方案。由于没有一个方案能够完美地量子化pθ, “我们反过来要问,如果找到了又怎么样呢? 除了使量子化过程更加普遍一点、更完美一点之外,还有什么用呢?

 

三,坐标的在与不在,氢原子都在这里

在经典力学中,束缚态氢原子就是一个绕质心运转的椭圆轨道。这个轨道半长轴的(Runge-Lenz矢量)指向不变,角动量矢量是个常矢量。也就是不需要借助任何外在参照物,体系本身在空间就有一个确定的指向。在量子力学中,氢原子难于理解的关键在于,似乎有一个z坐标轴上角动量的分量取确定数值,但是这个z坐标轴和氢原子体系的任何空间“指向”一点关系也没有。氢原子体系的哈密顿函数具有球对称性。

先设定一个直角坐标(O-xyz),然后通过坐标变换到球坐标中(O-rθφ).不考虑自旋,初等量子力学需要三个力学量的完备集(H, L2, Lz ).然后可以求出能量本征值和本征函数< rθφ|n,l,m>.如果学到这种程度,考试可以得100分。但是,不见得回答得了上面列出的任何一个问题。首先面对的问题是,如何理解系统的角动量L?

在量子力学中,哈密顿量本身并不构成表象。对于氢原子的轨道运动,需要选取三个相互对易的力学量的完备集构成表象,然后在这个表象中去看想看的东西。由于能级比较容易测量,那么首先选定哈密顿算符,再选其它两个。接下来可选的余地不多,在初等量子力学里,一个自然的选择的角动量平方L2,接下来无非LxLyLz中择一。如果学了高等量子力学,还有一个选择是Runge-Lenz矢量的平方。当然,也不是非选球坐标不可,Landau就选择了抛物线坐标系。

继续局限于初等量子力学里。尽管L是守恒量,这个守恒量却无法直接观测,连理论上的观测都做不到。在这个表象中,对于定态,关于角动量只有L2Lz的取值可以完全确定。Lz取定值,在理论上Lz可以直接测量。问题是,不但[Lz, Lj] 10 (j=y,z),还有 [Lz,ej] 10 (j=y,z).也就是说,不但电子的角动量的其它两个分量不确定,而且电子的空间指向在定态中< rθφ|n,l,m>是不确定的。有教材说,在基态< rθφ|0,0,0>角动量的三个分量可以确定,都是零! 这是正确的,但是要加上如下一句:角动量的空间指向完全不能确定。

问题还有如下更加深奥之处,最开始设定坐标的时候,并没有物理的方法确定坐标的空间指向,或者说xyz的方向是任意取定的。也就是,在一个给定的表象中把问题讨论清楚了,发现坐标是任意的。例如说,你和我的z方向相差任意一个角度,结论却完全一致。或者说,结论超越了具体的坐标!

理解氢原子需在在坐标在与不在之间。有趣吧!

 

四,三个问题的答案或讨论

问题一的答案:氢原子基态的轨道角动量为零,说明角动量对基态能量的本证值没有贡献。氢原子基态的能量非零,说明系统哈密顿的径向部分贡献了全部能量。因为定态是一个稳恒态,没有运动可言,所以此时最好不要说“氢原子基态的能量全部来自径向运动”。

从上面的讨论可以看出,尽管角动量矢量是个守恒量,但是在任何表象中,它都不表现为一个常矢量! 即使基态也是如此。

问题二的答案量子力学中说某个力学量的取值,只有两种情况。1、该力学量的本征值,2、某个态上的平均值。因此,喀先生的观点很有道理,特别是对量子力学初学者,最好按喀先生的观点进行教学。

但是,喀先生的第个观点值得讨论。因为流密度就是流密度,没有经典和量子的分别。所得一圈一圈的圆周运动的图像也是可信的! 所得磁矩的结果也是可信的! 问题是由于z轴的指向无法定义,实际上也无法确定,或者说空间任意方向均可以认为是沿z轴方向! 所以,尽管这个图像正确,却无法测量出来! 这和角动量矢量是个守恒量,但是在任何表象中它都不表现为一个常矢量,因而无法测量出来的道理一样。理解氢原子需在在坐标在与不在之间。这一点和经典力学完全不同!

那么,有没有办法引入一个空间参考方向? ! 这就是所谓外场下氢原子的行为。可是,一旦引入这个参考方向,系统的哈密顿会变化。例如引入电场或者磁场之后,的确就有了一个物理的方法确定一个参考方向。可是外场的引入就破坏了氢原子体系的球对称性,谱线发生分裂,会产生stark效应,Zeeman效应等等。

问题三的讨论:这个问题还没有主流一致认可的答案。

既然做不到“是理论决定了什么才能被测量”,那么就要都要进一步发展狄拉克的正则量子化方案,至少要引入一些规则。我们提出了所谓的自洽法。将狄拉克原有的关于动量和位置(x,p)的基本对易关系,列为第一类,将[x,H][p,H]列为第二类基本对易关系。然后问,在何种坐标系下,或者在何种空间中,何种形式的动量p和哈密顿函数H能满足正则对易关系。从目前的结果看来,仅仅平直空间是正确的。这从理论上说明了狄拉克的问题:在实用时,正则量子化仅对直角坐标系成立。我们的研究远非充分,还有太多的问题要做。我们也注意到国际上还有其它方案,例如最近Klauder发展的Enhanced quantization方案,Kleinert发展的群量子化等等。

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外一则: 大学教学研究是否“训诂”之学?

 
    在中国,大学教师是否应该进行教学研究,以及应该进行何种教学研究还是一个颇具争议性的问题。正方认为:大学教师应该集中精力搞好专业前沿问题研究。教学中的一些疑难问题、概念性困难相对于前沿研究来说是“考古”,或者说近乎“训诂”,一般这类研究不做也罢。反方认为:“古之学者必有师。师者,所以传道授业解惑也。”不进行教学研究,连学生提问的较难的问题都回答不了。更何况,高校中职称论文、项目专利泛滥成灾,不仅不能“绿色环保”,反而把学生引导到“大染缸”中,这岂止不务正业,根本就是祸害社会!
    在国际上,中国物理教育研究地位几何?且看三个数据。1、在Science、Nature上的文章:零篇。2、自从2005年Phys.Rev.物理教育研究卷(季刊)发行以来,中国人仅华东师大“Guangtian Zhu”(朱光天?)和其博士论文导师C.Singh教授(匹兹堡大学物理系)有论文三篇,平均每期0.13篇。作为比较,仅MIT就有5篇。3、1978至2012年间,在美国物理教师协会主办的《American Journal of Physics》上共有文章52篇,平均每期0.12篇。仅MIT物理及相关系就发表了83篇。数量上的差距还仅仅是一方面,更重要的是质量上的差距。如果说国际上一旦出现了一个拉风的思想,中国物理学界基本上都可以跟上去打点“烂仗”。而对国际物理教育的思潮及定量分析手段,中国物理教育界根本摸不到风向,和中美在计算机软件研究上的差距差不多。中国全国科研影响力和美国一所名校(例如MIT)的科研影响力之比,大概也在0.12--0.13之间。也许,等中国的教学研究水平上去了,科研的实力才能上去。
    西南联大时期教学水平何以成为近代世界办大学之最? 部分原因也许是当时每位教授不见得有条件进行科研,只好全力搞好教学!


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