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热力学与统计物理棘手问题五例 精选

已有 10504 次阅读 2011-5-26 21:26 |个人分类:大学教育|系统分类:教学心得|关键词:热力学,统计物理,教学| 教学, 热力学, 统计物理

首先列出这五个问题,答案在最后一部分。

一、磁介质中元功dW=-MdB的表达式可以是dW=BdM吗?

二、热量元dQ可以是状态量吗?

三、在统计物理中如何体现分子碰撞的作用?

四、在量子统计中往往说某能级上平均来说有若干粒子,可是在单粒子量子力学中又说粒子一般总是处于能量的叠加态,如何协调这两个观点?

五、Landau说,只有热交换能导致熵变,而做功不能。可是,从基本热力学方程dU=TdS+dW出发,得不出这个结论,这是怎么回事?

 

中国的教学传统,严谨为第一要求。而仔细探究这个传统,会发现其中存在一些基因或者说遗传密码。

热力学·统计物理教学就有一个这样的中国学派——王竹溪学派。这个学派的基因就是,有三个基本热力学函数的说法。这三个基本热力学基本函数指的是:分别由热力学第零、一、二这三大热力学定律引入的物态方程、内能和熵。在欧美流行的热力学·统计物理教科书中,例如M.W. Zemansky, W. Greiner, K. Huang, C. Kittle, L.D. Landau, F. Mandl, R.K. Pathria, M. Toda等,都没有这个说法。目前,最能传神表达王竹溪学派的教科书是林宗涵先生的《热力学与统计物理学》(北京大学出版社,2007)。我现在就使用这本教材教学。

 

    三个基本热力学函数好比于体操比赛中的规定动作,如果连规定动作都无法干净利落地完成,说明基本训练不够。这完全不是热力学统计物理的全部,而能体现物理神采的部分,还在于自选动也就是物理学要往最物理的方向去探究!何谓最物理?就是要有实验上能够检验的结果。而这个结果往往以出人意料的方式进入视野。

举一个曾经在科学网上产生过一点漪涟的话题作为例子。

最简单的气体为理想气体,而次简单的气体为范德华气体。那么,在体积很大时,范德华气体的极限是否为理想气体?如果仅从三个基本热力学函数的角度看,似乎没有问题。问题是,范德华气体内能对压强的导数在大体积极限下,给出一个非零的,可被实验检验的结果。这一点上,和理想气体完全不同。

另举一个极端的例子,目前有一个很是热闹的研究领域为原子气体的玻色-爱因斯坦凝聚现象。对这个体系,如果只是完成规定动作,就显得有点迂阔了。此时最物理的方向基本在三个基本热力学函数之外:凝聚体的存在及其性质。回想一下,爱因斯坦预言这个现象在实验验证出来前七十多年。爱因斯坦最物理”!爱因斯坦牛不牛?用一牛人故事说一说。此牛在本科时就做了很好的研究,忖思自己赶上爱因斯坦应该不是问题。博士期间,突然一天他垂头丧气,无不伤感地对我说:我这辈子赶上爱因斯坦看来是没有指望了。

 

五个问题中的前三个参考答案如下:

一、功元的表达式由本构关系规定,一般写为dW=fdq,其中f为广义功,q为广义位移。如果规定对体系做功为正,则压强体积功元为dW=-pdV由于dW=d(-pV)+Vdp,如果真把Vdp当成“功”元,则体系的特性函数要由内能U变成焓H=U+pV了。

考虑磁介质功元为dW=HdB,仅考虑磁化介质的功,则功元为dW=-MdB。一个麻烦的问题是,这不是唯一的选择。广义功是主动(action)的一方,广义位移是被动(response)的一方,难以想象磁化是主动的方面,更象被动的一方,于是,有时干脆将磁化功定义为dW=BdM。对于顺磁质,F. Mandl提到,这两个定义都会导致同样一个奇怪的问题如下。从基本热力学方程dU=TdS+dW出发,会发现无法绕开U恒等于零的情况。而一个量恒为零,还有什么信息? 于是有人曾建议不能仅仅处理顺磁质本身,而应该把包含支撑顺磁原子的骨架作为体系的一部分, 这个建议在物理上似乎是合理的。

二、热量元dQ可以是状态量!

仅仅对可逆过程,可以定义dQ=TdS,但并不能据此说明dQ为状态量。例如一个体系从(P1U1)(P2,U2)。可以设计若干个可逆过程,其中吸收的热量Q是各不相同的,这说明dQ依然是过程量。

但是,一旦规定可逆定压过程之后dQ)p=TdS,则dQ)p就成为了状态量,对可逆定容过程dQ)v=TdS,则dQ)v也是状态量。

三、没有碰撞,理想气体无法达到热平衡。但理想气体的能量表达式中并没有碰撞项,也就是统计物理的数学表达式中,没有任何地方没有明显地包含了分子之间的碰撞项。那么是什么原因导致了热平衡?这里一定有一个更深层次的原因,一个合理的猜测是:这个原因在于微观粒子的统计决定本性

对准自由粒子来说,统计物理中要引入分布函数,例如Boltzmann分布,Bose分布或者Fermi分布。这些分布函数按递进有三种理解1最概然分布;2平均分布;3由于粒子间不可分辨,也就是任何一个粒子在某一状态上的概率。最后一种是和经典粒子状态完全不同的理解,在经典力学中,某时刻某个粒子具有确定的动量和位置;在统计物理中,某时刻,某粒子只能以一定概率出现在某个状态上。

四、举个例子。谐振子。看一个一个谐振子,个个都是能量叠加态。看一群谐振子,居然是每一个都处于具有某个确定能量的定态。

        关键点在于:统计物理处理的是混合态、而初等量子力学只处理纯态。准自由粒子、能量表象。单粒子纯态能用一个单一波函数描叙,为能量本征态的(相干)叠加。混合态中,本征态间消相干,状态不能用单一波函数描叙。进一步,根据热力学平衡态的定义,就只剩下系统处于每个能级上的概率了。(感谢网友soifaint在18楼和26楼的评论,本答案其实是他提供的。)

五、这个问题,是我在请学生打字的过程中,另外一个聪明的学生(马上将去美国大学留学)提出的。不过这个问题似乎有点简单,不答。放在这里,凑成五个。

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感谢

每篇博客,都是在热情激荡的时候,飞快地手写,而且边写边请我的学生打字,一气呵成。我的拼音打字的速度,赶不上我的思维速度。而一旦热情冷却,或者有别的事情忙,就不知道等到什么时候了。

感谢帮我打字的学生们。



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