一，预备知识

    物理学研究自然界的物质及其运动。理论物理和物理理论的侧重点有些许差别。理论物理会预言自然界会存在某种物质或者运动。而物理理论会问：假设这种物质或者运动存在、或者因为这种存在，后果会如何? 前者的例子有：狄拉克的相对论量子力学回答了为什么会出现反粒子；而基本粒子的夸克模型，给出了几乎所有基本粒子为什么会存在的原因。后者的例子如：石墨烯能够稳定存在，能够直接观测到诸如分数量子Hall效应、Andreev反演、Klein遂穿效应还有一些其他零质量费米子效应。如果是理论物理，应该首先预言出石墨烯的存在!

    什么是基本理论问题? 正常导体是超导体的一种特殊情况，正常导体的物理机制在超导中，如果超导问题不清楚，正常导体很多问题就说不清楚。对于正常导体来说，超导问题就是基本问题，从超导逼近正常导体能给出新的物理。波尔兹曼统计是费米-狄拉克统计和波色-爱因斯坦统计的特殊情况，从费-狄统计或者波-爱统计逼近波氏统计，能给出很多新的物理，前者是后者的基本理论问题。

二，从量子力学到石墨烯：逻辑上还需要一点理论物理

    关于石墨烯的研究，有宏观和微观方面这两方面的研究方向。微观上，多认为是零质量费米子在平面上的运动，文章浩如烟海；宏观上，常认为石墨烯为连续的板壳，具有弯曲效应，文章不多，参见Geim，Novoselov等，Subjecting a Graphene Monolayer to Tension and Compression，Small 2009, 5, No. 21, 2397–2402。其实介观上，石墨烯面是弯曲的，有下图为证。

    那么，如果把量子力学应用到石墨烯上，考察电子的运动，一般文献按如下逻辑给出熟知的零质量费米子哈密顿。

    不过理论物理学家会问一个问题：量子力学的基本形式仅仅适用于三维平直空间，而石墨烯上的电子生活在二维的弯曲空间里，通常的量子力学理论体系能用吗? 反过来说，如果认定通常的量子力学理论体系能用，实际上是一个假设。物理容许逻辑上的跳跃。不管这个理论有无深层次的道理，就从这里出发，如果得到的结果都得到了实验的检验，也是高水平的物理学。不过这个做法不够理论物理。

三，您了解狄拉克的烦恼吗?

    正则量子化是狄拉克对量子力学的一个基本贡献，他也为此烦恼了一辈子。

    狄拉克的《The Principles of QM》(第四版)第114页上，有一个脚注如下：(将经典力学哈密顿量子化要小心。) “This assumption is found in practice to be successful only when applied with the dynamical coordinates and momenta referring to a Cartesian system of axes and not to more general curvilinear coordinates.” 这是青壮年时的狄拉克的观点。1970年代有几年，老年的狄拉克在大洋洲有十来次演讲，部分被编辑成为一本书：《Directions in Physics》(Wiley, 1978)。有一篇发表在一个短命的新西兰物理刊物《Fields and Quanta》(3(1972)139)上，其中有两段话映照了青壮年时的观点：(正则量子化会出现很多不可对易性。)“不可对易性果真是量子力学主要的新概念吗?以前我一直以为是的，但近来我开始怀疑，…”。“如果要问量子力学的主要特征是什么，我现在倾向于要说：这个特征并不是不可对易代数，…。”

    壮年的狄拉克研究过弯曲空间量子化，发现直接将Piossion括号变成量子正则对易关系时，必须修改为狄拉克括号，然后量子化才能给出正确结果。这些结果总结在狄拉克的另外一本著作中：《Lectures on Quantum Mechanics》(London:Academic，1966)。狄拉克其实在不断试图超越他自己。

    如果细读了狄拉克的文字，不难理解为什么会有很多人为球面上粒子运动的量子力学而烦恼。其中有一位是名家Kleinert，在其专著《Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets》，(World Scientific，2006) 4th ed. 有专门的一节：Particle on the surface of a sphere。大意是说，狄拉克正则量子化规则，给不出球面上粒子量子运动哈密顿的正确形式。如果要给出正确形式，应该重新思考量子化规则。Kleinert提出了一个所谓的“群量子化”法则。球面上粒子量子运动哈密顿是SO(3)群生成元的Casimir算符。而狄拉克对易关系，不过是李代数生成元之间的一个代数关系。

四，从哈密顿量到动量量子化：一点一点超越狄拉克

    量子力学适用于三维平直空间中的粒子运动。如果把石墨烯弯曲成一个刚性的曲面，此时电子的动能不能仅仅由一个Laplace算符(当然要乘上一个系数)来表达，会多出一个曲率能量项。而推导这个项，不能认为电子生活在曲面上，而是生活在三维平直空间中，曲面不过是提供一个约束。不过这个约束完全没有沿用狄拉克定义的第一或者二类约束的概念。这个项的明显形式为(H为平均曲率，K为高斯曲率)：

。

这个一个曲率能量项最初步的推导是1971的德国学者做出来的(Ann. Phys. (N.Y.) 63(1971)586)，但是有些粗糙，几乎没有人注意。直到1981年，巴西学者da Costa的工作 (Phys. Rev. A23, (1981)1982)有了严格推导之后，才受到广泛的注意。纳米科技的进步，诱使人们给出了不下20个在碳管、石墨烯等体系上观测这个曲率能量项的建议。唉，真是人算不如天算。第一个实验观测居然出现在光子晶体中：A. Szameit，et al， Geometric Potential and Transport in Photonic Topological Crystals，PRL 104 (2010)150403。

    这个发展，超越了狄拉克的弯曲空间量子化的正则对易量子化规则。

    不过在这个问题上，绝大多数研究人员还在狄拉克指定的规则内打转转。这个规则不能直接量子化Poission括号，而是量子化狄拉克括号。发展出两个途径：一个途径是直接量子化哈密顿；另外一个就是先量子化动量，再量子化哈密顿。文章在100篇以上，规则越来越复杂，吵得一塌糊涂。一篇综述见：Golovnev, Canonical quantization of motion on submanifolds. Rep. Math. Phys., 64(2009)59—77.

    而在动量量子化方面，我们也做了一点工作。不循狄拉克的的规则，也是直接把曲面嵌入到三维平直空间中，我们给出的量子力学动量为：

。

它其中比平直空间的动量算符多出一个几何不变量：平均曲率矢量场。文章见：Liu Q H., Tong C L., Lai M M., Constraint-induced mean curvature dependence of Cartesian momentum operators J. Phys. A 40(2007)4161。我们也把这个动量称为笛卡尔动量。

五，回到石墨烯

    如果认真研究电子在石墨烯上的运动，由于石墨烯本质上是弯曲曲面，量子化从第四节中的量子力学动量和动能出发最为妥当。最后通过逼近的方式给出近似平面上石墨烯上的运动，就可以理解一些不明显的效应可以忽略。由于对这个问题的了解并不充分，可以说量子力学应用于石墨烯具有一个基本问题。标题说是一个“困难”，不会出现在物理学文献中。如果在物理学文章中，出现将是类似如下的干巴巴的文字。

    将石墨烯面闭合起来变成一个球，然后研究电子这个球面上的运动，Kleinert等(H. Kleinert and S. V. Shabanov, Proper Dirac quantization of a free particle on a D-dimensional sphere Phys.Lett. A232 (1997)327)建议将狄拉克的第二类约束进行Abel反投变成第一类约束，然后量子化。这个建议没有把Kleinert自己建议的“群量子化”规则进行到底，本文从我们建议的笛卡尔动量出发，发现“群量子化”规则也完全有效。

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土著是个石头迷，昨天捡拾到的一块石头，晶化得还算不错吧!