热力学中的时间可逆性困难可以表述为宏观上的热力学系统熵增和微观上经典力学框架中的时间可逆性间的矛盾。文献中常称之为Loschmidt佯谬。熵增原理指的是，未达到热力学平衡态的孤立系统，随时间的演化将沿熵增加的方向进行。经典力学中的时间可逆性指的是，给定一个经典力学系统，如果这个系统有解r(t), 那么r(-t)也是这个系统的解，t指时间，r(t)即实空间中的轨迹。

朗道和栗夫席兹(简称朗道)在《统计物理学I》有一节§8“熵增原理”，专门讨论了Loschmidt佯谬，并强调这是一个未解决的问题，只有等待今后物理学的发展。

首先，朗道认为熵增原理不会导致热寂说。这是因为整个宇宙不能看成一个孤立系统，熵增原理不会一定导致宇宙热寂，即宇宙的熵极大状态。宇宙热寂和Loschmidt佯谬关系不大。

第二，朗道认为，时间可逆性和作为“最概然性的后果”(most probable consequence)的熵增原理之间，没有矛盾！他认为，熵增原理仅仅针对的是宏观系统中的“最概然性的后果”，原子、分子的经典力学时间可逆性和宏观系统的“最概然性的后果”之间，没有必然的联系。原文是“The formulation of the law of increase of entropy given above does not itself contradict this symmetry, since it refers only to the most probable consequence of a macroscopically described state. In other words, if some non-equilibrium macroscopic state is given, the law of increase of entropy asserts only that, out of all the microscopic states which meet the given macroscopic description, the great majority lead to an increase of entropy at subsequent instants.”

第三，朗道认为矛盾呢何在呢？首先，朗道区分了“最概然性的后果”和“最概然性的前因” (most probable origin)两个概念。孤立系统的非平衡态，需要给定一个时刻t=t₀．在这个时刻以后，就有所谓的“最概然性后果”；在这个时刻之前，是所谓的“最概然性的前因”。朗道认为，如果有时间可逆性的话，让时间倒转，“最概然性的前因”的熵比t=t₀时刻的熵要大。也就是说，任意选定的时刻t=t₀的热力学系统，一定是一个熵极小(!)态。由于前序的宏观态的熵S(t₀–ε)(ε>0)居然比当下的熵S(t₀)要大，和熵增原理不符合！

这里，朗道玩了一把幽默。他说，这个“熵极小态”困难可以消除，不过必须引入“观测者”！在任何时刻，一旦这个“观测者”观测了这个热力学系统，得到了一个熵值的同时斩断了这个系统的历史。“最概然性的前因”不复存在，就只剩下这个“最概然性的后果”即随后的熵一直增加！由于这个观点等价于“物理学的规律依赖于观测者”，当然是不对的。

总之，朗道认为Loschmidt佯谬揭示了一个矛盾：t=t₀之前热力学系统的具有一个熵值S(t₀–ε)，宏观意义认为S(t₀–ε)<S(t₀)，时间可逆性认为S(t₀–ε)>S(t₀)。

第四，既然“最概然性的前因”具有的熵，不能比t=t₀时刻的熵大！熵就只能是时间的单调增加函数。怎么办？遇事不决，量子力学！朗道认为宏观上的熵增可能是量子测量困难在热力学中的反映。在量子力学中，由于量子测量过程，时间有了绝对的先后，也就是时间可逆性不复存在。原文是“Thus in quantum mechanics there is a physical non-equivalence of the two directions of time, and the theoretically the law of increase of entropy might be its macroscopic expression.”问题是，朗道这里用的是“might be”，也就是尽管可能，但是可能性也不会大。也不是很肯定。

第五，那么这个理论困难能否解决？朗道猜测的可能方向有两个。1，宇宙起源；2，基本粒子之间的弱相互作用。原文是“it may be of cosmological origin and related to the general problem of initial conditions in cosmology related to the general problem of initial conditions in cosmology; the violation of symmetry under time reversal in some weak interactions between elementary particles may play some part。”

朗道统计物理学I第8节原文.docx

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评  述

热力学系统熵增和微观过程时间不可逆性之间的矛盾是一个重要问题，朗道的观测问题的角度别具心裁。第一，朗道认为熵增和宇宙的热寂没有关系，而不是调和熵增和热寂之间的矛盾。第二，认为时间可逆性和“最概然性的后果”的熵增之间没有矛盾，只是站在“最概然性的后果”的角度看熵增，认为问题出在“最概然性的前因”上；等等。

但是，朗道的观点和1990年以后统计物理的发展不合拍！今天，普遍认为经典力学本身具有不确定性，并没有真正的时间可逆性。参看：郑志刚、胡岗《从动力学道统计物理学》(北大出版社，2016)。第二，朗道沿用的量子测量理论，依然是量子系统+经典测量仪器，属于非常传统的哥本哈根解释(参见朗道和栗夫席兹《量子力学》(非相对论性理论)§7)。现在的统计物理中的热化过程，已经建立在量子纠缠的基础上。参看：柳飞 《量子轨迹的功和热》(科学出版社，2019)。

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注释

1，《统计物理》(上卷)已经出版到第五版。从所参看的第二、三和第五版看，每一版对这一节都有改动。例如，上文中的“might be”出现在第三版，在第二版中为“may be”，在第五版中是“很可能是”(中文版)。

2，这里把most probable consequence翻译成了“最概然性后果”。因为朗道把“most probable”和consequence专门分开进行过说明。原文是：“In speaking of the “most probable” consequence, we must remember that in reality the probability of transition to states of higher entropy is so enormous in comparison with that of any appreciable decrease in entropy that in practice the latter can never be observed in Nature. ”注意，“most probable” consequence中的括号，说明most probable consequence中的“most probable”是重点。

3，主要参考的是第三版，原文都取自这一版。仔细研读的就是这一版，同时参看了第五版的中文翻译本(《统计物理学I》(第五版)，（束仁贵、束莼 译; 郑伟谋 校，高等教育出版社，2011)。从零阶角度看，第三版和第五版没有差别；但是从二阶角度看，有差别！而这个差别必须细读原文(俄文)才能有比较好的理解。例如，说不定英文的“might be”，“may be”，中文的“很可能是”，在俄文里是一个词。