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[转载]薛定谔方程的推导过程

已有 1110 次阅读 2020-7-19 09:30 |个人分类:物理|系统分类:科研笔记| 量子力学, 薛定谔方程, 玻尔兹曼 |文章来源:转载

作者:曹则贤


薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887-1961), 奥地利物理学家,量子力学奠基人之一。薛定谔不仅是个杰出的物理学家,而且还是个了不起的哲学家和文化学者,他的《什么是生命》、《自然与希腊人及科学与人文》等著作对物理学以外的其它领域也有深远的影响。维也纳大学摆放的薛定谔大理石胸像上刻有薛定谔方程:

一般来说, 墓碑或塑像上刻有自出机杼的公式者,可以算是科学家 

量子力学 是二十世纪物理学的两大支柱之一。如果论起对人类社会的影响,量子力学比另一支柱—相对论—要大得多。有了量子力学,我们理解了原子的光谱,它的影响之一是让我们能将整个可观测宇宙纳入我们的研究范围;我们理解了固体的导电性,它的影响之一是让我们有了半导体的概念从而使得人类进入了信息时代。对于今天的物理系学生来说,掌握量子力学知识是起码的要求。 量子力学的基本方程是薛定谔方程 

或者写成下式:

这是一个让众多量子力学爱好者头疼不已的方程. 人们或许会问,这个所谓的基本方程又是怎么倒腾出来的呢?

事情是这样的。1925年底,法国青年德布罗意(Louis de Broglie)的博士论文传到了瑞士苏黎世联邦工学院的德拜(Peter Debye)教授手里。该论文中提出了 物质波 的概念,即电子这样的粒子也可看作是波,其波长、频率与其动量、能量的关系为:

这里h是普朗克常数。德拜拿到这样的博士论文和如此简单的公式不知是什么表情,他的说得出口的评论是如果认定电子等粒子是波的话,怎么着也该给凑出个波动方程吧?那时候,机械波和电磁波的方程可已经是被人们研究透了的, 机械波的波动方程 标准形式为:

德拜把论文交给了当时一起讨论的苏黎世大学的薛定谔手里,希望他仔细看看,下次讨论会上能给大家讲讲。结果薛定谔1925年底就给出了方程:

把这个方程应用到氢原子,不仅可以得出电子在不同“轨道”的能量:

而且还指出那能量实际上依赖于三个量子数(n,l,m),更指出引入这三个量子数只是因为要求方程里的函数Ψ有界,而无需像玻尔量子化那样先入为主地假设角动量是量子化的。1926年,薛定谔分四部分发表了“ 作为本征值问题的量子力学 ”一文,为量子力学奠定了基础,也奠立了他在物理学史上的地位。基于此套说法的量子力学叫波动力学,这个函数叫波函数。显然,人们有理由知道这个方程是怎么来的!

 

薛定谔是如何得到他的量子力学方程的,从文献中的资料不易再现当初完整的过程。薛定谔一开始是从相对论出发的,毕竟那时关于电子的相对论理论是已经有了的,且电子的行为必定是相对论性的,但是这条路薛定谔没走通。他转而回到经典力学。他要的解的形式是知道的,波的表达形式在物理学家眼里就是函数

或者干脆写成:

把德布罗意的关系带入波函数的表达式,波函数就变成了下式:

将上式带入一般的经典力学里弦的振动方程:

就得到了后来被称为 薛定谔方程的波动方程 

这里的H是哈密顿量,为系统的动能与势能之和。熟悉经典力学的薛定谔对哈密顿量H可亲切了。至于这里的函数在描述电子的行为时是什么东西,那……那以后再说。

然而薛定谔到底是怎样构造他的量子力学方程的?上述的说法并不能让笔者信服。笔者从一些支离破碎的信息中拼凑的一个过程也许更合理一些,至少从科学思想演化的角度来说它是连贯的。薛定谔在从狭义相对论出发的初步尝试失败以后,转向了玻尔兹曼的熵公式:

作为维也纳人和维也纳大学毕业的学生,他对这个公式太熟悉了——薛定谔的导师是  Franz S. Exner, 而Franz S. Exner的导师是玻尔兹曼,也就是说玻尔兹曼是薛定谔的师爷。师爷有那么好的公式,不充分挖掘那就太可惜了!

对于玻尔兹曼熵公式中:

W在德语中是当作几率(Wahrscheinlichkeit)的首字母来理解的,但它也是波(Welle)这个词的首字母。既然是要得到(物质)波的方程,那不就是要得到关于W的方程嘛,这里现成的就有一个。所以呢,要把公式

写成W是主角的形式,即:

不过这指数函数中的变量需要加上虚数因子才能表示波动。记得欧拉公式吧:

正弦函数和余弦函数才是物理学家们表示波的不二法门。此外,要描述量子力学,那就得和量子力学拉上关系,那就把玻尔兹曼常数k换成普朗克常数h吧。于是,描述波W的函数就变成了下式的样子:

其中:

作为优秀物理学家的薛定谔当然明白,在物理中用到的函数中的变量必须是无量纲数。普朗克常数的量纲是作用量的量纲,则那个S的量纲也应该具有作用量的量纲。S 原来是熵,现在在薛定谔的眼里是个量纲为作用量的一个量,那S该是什么样的物理量?

薛定谔太熟悉经典力学了,他知道经典力学里作正则变换的时候引入过一个量纲为作用量的函数S,而且还有S该满足的Hamilton-Jacobi方程:

把W表达式

带入Hamilton-Jacobi方程,于是就得到了的结果:

当然啦,用W表示波似乎还有经典力学的土气,换个希腊字母Ψ 表示量子力学的波会洋气些,这样就得到了 量子力学的薛定谔方程 

H的意义也改变了。在经典力学里它是一个量,在量子力学中它是算符(动量对应位置微分算符这些事,已经由玻恩和约当在1925年给准备好了,把H写成算符一点心理障碍也没有), 因此薛定谔方程也被写成:

理解薛定谔方程的产生过程需要跟得上思想的跳跃,别不习惯,物理学就是这么构造出来的 。薛定谔方程应用的巨大成功使得人们不再去纠缠其构造过程是否合理。一般教科书会教人一步一步严格地推导,那是学习;对于想成为科学家的人们来说,这种连蒙带猜的本领才是真正要学会的—那不仅仅是技巧。

薛定谔方程虽然是量子力学的基本方程,成千上万的人修习过量子力学,但是却鲜有人读懂了薛定谔1926年那篇奠基性论文的题目“作为本征值问题的量子力学”。1987年终于有一个人读懂了,那个人把麦克斯韦方程组改造成了薛定谔方程那样的本征值问题,于是有了光子晶体的概念。笔者敢断言,光子晶体的工作如果不能获得诺贝尔物理奖的肯定,那是诺贝尔物理奖的耻辱。

来源:http://jingxuan.guokr.com/pick/78272/

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI0MzA3OTI1MA==&mid=2651587216&idx=2&sn=47421bbc1df7742c217a24ccb6584354&chksm=f28a23adc5fdaabb51a3435c842871df54d9e0edaa3ad2ba6c13623b4b6c41b8d8828596c664&scene=0&key=b721df98f799e325a5c1a96d381c38a19ef2dadad1a3dbdd89966cafb5d714592956a05b398e63f6b6da0ea75a28c0d85161deef863e8dd1bd09306d5c9aa79ce48fa17998244085e1176a91ea49bf89&ascene=0&uin=MTQ2MzcxOTgyMA%3D%3D&devicetype=iMac+MacBookAir7%2C2+OSX+OSX+10.12.2+build(16C67)&version=12010210&nettype=WIFI&fontScale=100&pass_ticket=Fhif%2Bo5vFlGx31z50r%2FfsyoveNapKIDQe7azprS8XPqCofXo9nXoS7RqtRkZO%2FRM




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