施郁

量子力学有一套理论框架描述这些性质。光子的偏振由一个量子态描述。我们可以把它记为|ψ>。它在数学上是一种矢量。

我们知道，空间中的矢量，比如位置，由几个坐标(或者叫分量)确定。任意一个矢量都可以分解为几个互相正交的基本矢量。它们平行或反平行于坐标轴，长度大小就是坐标的绝对值，方向由坐标的符号代表。它们称作基矢。

与之类似，量子态这种矢量也可以分解为几个互相正交的基矢，它们称为基矢态。这里的矢量不是在我们所生活的空间，而是在一个抽象的数学空间里，称作矢量空间。它是这个量子系统的所有可能的量子态的集合，服从一定的运算规则。这些矢量的正交也有它的定义。

在我们生活的空间里，坐标的选择是任意的。与之类似，对于一个量子态来说，选择哪一套基矢态来展开或者分解也是任意的。但是为了计算某个测量的概率，选择与这个测量对应的基矢态比较方便。光子透过偏振片可以看作一个测量过程，如果偏振方向沿着偏振片的透光轴方向，就会穿透；而如果垂直于透光轴方向，就不能穿透。

为简单起见，我们考虑某个垂直入射偏振片的线偏振光子。假设在偏振片上定义一个xy平面，光子的线偏振沿着θ方向。我们将这个偏振量子态记作：

|θ>

现在我们先假设偏振片的透光轴沿着x方向。为了计算光子透过偏振片的概率，可以把光子原来的量子态分解如下：

其中|↔>与|↕>互相正交，|↔>代表光子偏振方向沿着x方向，即目前偏振片的透光轴，|↕>代表光子偏振方向沿着y方向，即垂直于偏振片的透光轴。

光子入射偏振片，量子态变得非此基矢态即彼基矢态，要么变成|↔>，从而透过偏振片；要么变成|↕>, 从而不能通过偏振片。前者的概率是(cosθ)^2，后者的概率是(sinθ)^2。概率等于展开式(1)式右侧各基矢态前面的系数(通常称作展开系数)的模的平方。这是由量子态决定概率的基本规则。这些系数的模的平方之和等于1，因为各种可能的概率之和应该是1。因此，光子穿透偏振片的概率是(cosθ)^2，穿透后的量子态变为|↔>。

现在我们改变一下偏振片的方位，将它逆时针转动45°，然后再将处于同样偏振量子态θ的光子入射。现在将光子的量子态θ作如下分解比较方便：

其中：

        θ'= θ-45°，

可以看出，对于目前的偏振片透光轴方向，光子穿透偏振片的概率是(cosθ’)^2, 穿透后的量子态成为：

后两式也可以分别通过将θ=45°和θ=135°带入(2)式得到。