前言

阿兰・图灵是一个谜一般的神奇人物——计算机之父、密码学大师、人工智能奠基者、同性恋领头羊（仿佛混入了什么奇怪的东西...）等等，都是这位神奇人物的标签。任何普通人只要能够拥有以上标签的任意一个，就足以名扬天下了。

或许对于图灵这种历史罕见的天才而言，取得任何荣誉都如同探囊取物般轻松，并不稀奇。然而除了满身的荣誉，他还有很高的颜值：

图灵，1912-1954

这样的能力强知识面广的大帅哥，自然令广大少女如痴如醉。广大少男还不敢轻易对这位大帅哥心生妒忌——图灵还是世界级的马拉松运动员，曾经跑赢过奥运银牌得主[1]。

关于图灵在计算机科学领域的各种奠基性成果和长跑健身心得，网上已经有很多不错的文章专门介绍了，这里不再赘述。笔者在本文中所要介绍的，是图灵在自然科学领域的一大颠覆性发现——图案的生成（Pattern Formation）机理。

无所不在的图案

事实上“图案”这个东西随处可见。简而言之，图案就是图像的基本构成单元，特点是简单并且重复性高。把眼睛移开屏幕，我们所见的百叶窗、被子上的花纹、小时候给同桌情书上的歪歪扭扭的笔迹等等，全都是图案。在自然科学领域，人们所关心的图案则都是能够自发生成而非人为创造的图案：

自然科学中形形色色的图案

许多读者已经在笔者以前的文章中见过其中的一些图案，例如《计算植物》一文中的蕨类植物叶片、向日葵叶序和树枝分岔的形成等。而图灵则更是天马行空——他把生物体内的所有器官都看作图案的一种，并通过这些形形色色的图案总结（猜测）出生成这些图案所需要满足的化学方程。

我们来看看，他是怎么做到的。

图灵的思路

在图灵那个年代，人们对生物研究的印象大多是设计实验、搬显微镜、洗试管、写实验报告（如今这一刻板印象在很多地方依然存在）四部曲，于是很多人嘲笑他：

但图灵终非等闲之辈。他一方面在实验室中进行了大量实验（其实图灵还是一位优秀的实验科学家，估计世上没有他做不到的事），一方面假想和器官形成有关的两种化学物质U和V，并结合实验观测和他惊人的数学天赋推导出了U和V满足的微分方程：

这类方程如今又被称作反应扩散方程（Reaction Diffusion Equation）。在数学上，这种方程是二阶抛物方程的一类，和热方程属于同一类。尽管反应扩散方程看似非常简单，但它右端的非线性项给予了这个方程极为丰富的表现力和自由度。例如如果我们假设：

那么得到的U的浓度变化是这样的（颜色越深浓度越高）：

上图是笔者通过python语言模拟出来的，详细代码可见[2]

经过反复试验我们可以发现，尽管一开始U的分布是不均匀的（随机扰动），最终U的浓度总是可以达到稳定，并且形成斑点状图案！图灵把化学物质U和V称作成型素（Morphogen）。得到成型素满足的方程后，图灵结合计算机模拟（或许这是最早的数值模拟了），制作出了一张方程参数表用来记录哪些参数可以得到怎样的图案，并在1952年发表成论文。或许图灵不会想到，这篇题目叫《形态发生的化学原理》的论文[3]，会对后世的数学、物理学、化学和生物学同时产生颠覆性影响，并成为他所有著作中引用量最高的一篇（根据谷歌学术统计）。

对数学的影响——反应扩散方程的崛起

第一个反应扩散方程是英国统计学家和进化生物学家费希尔（Ronald Fisher，笔者在文章《罗纳德・费希尔——或许是最被低估的科学家》已有介绍）在1937年提出的[4]，不过这只是一个普通的一维抛物方程，还入不了数学家们的法眼。但图灵的方程却是二维方程组，看起来很比费希尔的方程技术含量高很多，于是立马引起了数学家们的关注。

作为横跨众多领域，高能力高颜值的全才型英国科学大师，或许费希尔和图灵最大的区别就在于身体素质——费希尔曾因视力过差而在一战中被拒绝入伍

作为二阶抛物方程的一员，数学上的许多经典方法都可以应用在反应扩散方程上，下表对这些方法做出了大概总结：

当然还有一些重要方法（例如经典的拓扑度理论、连续性方法和较新的粘性解方法等等）未提及。这些概念笔者会在以后的文章中继续介绍。不过关于反应扩散方程，人们重点关注的问题是：什么时候会生成怎样的图案？如果有一些小的扰动，图案会不会就发生变化呢？要知道在器官的形成过程中，来自环境扰动可不少，但这些器官的形状却是很稳定的——人的手指基本上都有五根，没有人眼睛会长在鼻子下面。

关于反应扩散方程组的稳定性，最经典的结论表述如下：

这个结论又叫扩散-不稳定定理（Diffusion-Driven Instability Theorem），它表明自由扩散在图案生成的过程中是必不可少的。此后许多和反应扩散方程相关的结论和应用到的分析方法都是基于以上定理。

对物理和化学的影响——非平衡态统计力学的创立

19世纪中叶，热力学和统计力学这两个学科同时诞生。尽管如今看来，这两兄弟研究的对象都是热力学系统，关系密切，但实际上它们最初的思想是相对独立的——热力学通过温度、做功、能量等宏观可测量的物理量来研究热力学系统；而统计力学则同时兼顾微观物理量（粒子分布概率等）和宏观物理量的关系。热力学鼻祖克劳修斯和开尔文提出了热力学第二定律，统计力学鼻祖玻尔兹曼通过定义“熵”，严格证明了这一定律（玻尔兹曼称之为“H定理”[5]），强强联手，热力学第二定律自然很快就深入人心了。

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热力学第二定律（统计力学表述，又名熵增原理）：

孤立系统从一个平衡态到另一平衡态的过程中，其熵永不减少：若过程可逆，则熵不变；若不可逆，则熵增加。

然而一百年后，图灵通过定义“成形素”这么个看不见摸不着的概念，并造出两个微分方程，就大胆预言“存在永远达不到平衡态的化学反应系统”。尽管人们都知道图灵是个天才，但这个预言显然违反了热力学第二定律，所以当时没人相信图灵的一面之辞。

但这个局面没持续太长时间，俄罗斯化学家Belousov就在研究柠檬酸循环（人体内碳水化合物代谢循环）时发现， 如果把溴酸钾、硫酸铈（铈为4价阳离子）、丙二酸和柠檬酸放到稀硫酸溶剂中，并观察到溶液会在黄色和无色之间来回变化（4价铈和3价铈的浓度比决定溶液颜色），达不到平衡！

起初Belousov自己都不相信自己的实验结果，因为没人能解释为什么会存在达不到平衡的化学反应。然而经后人反复试验，确认了这种“不听话”的化学反应的存在性，这类反应被命名为Belousov-Zhabotinsky反应，简称BZ反应。在60-70年代，这种反应引起了物理学家和化学家甚至某些数学家的兴趣，从而验证了图灵所预言的化学反应。

奇妙的BZ反应，上图的反应物已经和最初的BZ反应不同了，并且用了铁的化合物作为染色剂。上述实验来自[6]

熟悉热力学第二定律的读者可能会纳闷：BZ反应既然达不到平衡态，那么这个反应的“熵”到底有没有增加呢？对此，我们要想办法对BZ反应进行数学建模。

关于BZ反应的理论模型有很多，最初的解释来自于前苏联物理化学家普利高津（Ilya Prigogine）的布鲁塞尔模型（Brusselator，一个二元方程组）例如，普利高津建立的化学反应图和简化数学模型如下[7]：

左边的化学反应中，A浓度保持一定。右边的是反应扩散方程组，实际上就是物质的量守恒

我们可以看到，在左边的化学方程式中，物质A总是保持恒定的，因此布鲁塞尔模型并不是封闭系统，因此自然可以不遵守热力学第二定律（熵增原理要求系统封闭）。

或许看到这里，一些读者对无法亲自体验炫酷的BZ实验而深感遗憾。不过一旦有了方程就不必担心了，笔者用计算机对布鲁塞尔模型进行了数值模拟（动图中不同颜色表示化学物Y的不同浓度，红色表示浓度高）：

初始给予随机扰动，迭代很长时间后会重现BZ反应的炫酷场景。代码可见[8]

那么布鲁塞尔模型是否真的能准确描述BZ反应呢？要知道BZ反应可是在一个封闭容器里面进行的，化学物质A肯定需要有其他物质作为来源啊。事实上，BZ反应的中间产物至少有二十多种，因此布鲁塞尔模型只是一个高度的简化，但这种简化已经能创造出足够的价值——一方面，从上面的动图看出，布鲁塞尔模型能很好地重现BZ反应中的化学振荡；另一方面，普利高津正是因此提出了耗散结构理论（Dissipative system），认为“与外界的能量交换是使得系统有序化（违反熵增原理）的根本原因”，并创立了非平衡态统计力学这一全新学科。普利高津因为这些工作拿下了1977年诺贝尔化学奖。

普利高津。图片来自于维基百科

普利高津提醒人们，“熵”这个概念需要被仔细定义。关于耗散结构理论和非平衡态统计物理，还有大量内容可以探讨，限于篇幅笔者只好在此忍痛割爱。

关于BZ反应的模型还有很多，例如俄勒冈大学两位科学家提出的俄勒冈模型（Oregonator，一个三元方程组）。尽管从化学方程式看来，俄勒冈模型和布鲁塞尔模型区别很大，但他们在数学上都是反应扩散方程组，因此都能体现出BZ反应的非平衡本质，更多理论注解可参考文献[7]的第六章。

此外，BZ反应只是非平衡化学反应的一种，类似的反应还有Bray–Liebhafsky反应和Briggs–Rauscher反应[9]，这些反应都有对应化学物质作为指示剂（后两个指示剂是碘离子）因此容易被人们发现。事实上还有太多没有指示剂的化学振荡反应尚未被发现，可以想象，这些暗藏在深处的奇特反应将会为未来的科学界引领方向。

结语

相信通过这篇文章，大家已经充分感受到图灵对整个自然科学界的深远影响了。然而天妒英才，图灵晚年因自己的同性恋倾向而受到歧视，并在英国监狱中饱受虐待，不久后便服用含有过量氰化钾的苹果自杀，享年仅有42岁。图灵去世时，他的《形态发生的化学原理》才问世两年，人们急于撇清和这位“怪才”的关系，根本无人问津他的论文。

不过《形态发生的化学原理》的影响甚至远不止此——它还在很大的程度上影响了今天生物学的研究方法。从这个角度看来，图灵还是理论生物学（Theoretic Biology）和系统生物学（System Biology）两大分支的奠基人之一。在下篇中，笔者会着重介绍图灵对生物学的深远影响。

最后以一首诗作为结尾，以总结全文，希望对读者有所启发：

图灵之科学缘

计算密码随心透，日驱百里胜轻舟。

数学方程多婀娜，霓裳微敛千彩流。

化学式里蕴天厚，后世英雄功名收。

白雪公主缘奇梦，苍穹耗散序自由。

参考文献：

[1] http://www.turing.org.uk/book/update/part6.html.

[2] https://people.math.osu.edu/yang.2677/Turning.py.

[3] Turing, A. M. (1952). "The Chemical Basis of Morphogenesis". Philosophical Transactions of the Royal Society of London B. 237 (641): 37–72.

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Fisher%27s_equation.

[5] Waldram, J. R. (1985). The Theory of Thermodynamics. Cambridge University Press.

[6] http://www.pojman.com/NLCD-movies/NLCD-movies.html.

[7] Tian Ma, Shouhong Wang, Phase Transition Dynamics. Springer 2015.

[8] https://people.math.osu.edu/yang.2677/Files/codes/BZ.txt（Matlab程序）.

[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Chemical_clock.

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