关于类范德蒙矩阵的行列式值的符号的另一简化证明

 【引理】 定义类范德蒙矩阵的行列式值如下

$F_{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}}^{0,k_{2},k_{3},\cdots,k_{n}}=\det\left(\left[\begin{array}{cccc} 1 & \lambda_{1}^{k_{2}} & \cdots & \lambda_{1}^{k_{n}}\\ 1 & \lambda_{2}^{k_{2}} & \cdots & \lambda_{2}^{k_{n}}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & \lambda_{n}^{k_{2}} & \cdots & \lambda_{n}^{k_{n}} \end{array}\right]\right)" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;$

则对满足 $0\leq k_{2} $F_{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}}^{0,k_{2},k_{3},\cdots,k_{n}}>0" style="word-wrap:break-word;max-width:620px;$ .

   【证明】 实际上上述定义的 $F_{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}}^{0,k_{2},\cdots,k_{n}}$ 为向量组 $\left\{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right\}$ 张成的 $n$ 维空间的平行多面体的有向体积。而向量 $\alpha_{2}$ 可视为向量 $\alpha_{1}$ 经过 $k_{2}$ 次相同的拉伸变换，其拉伸变换矩阵为

$\left[\begin{array}{cccc} \lambda_{1} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_{2} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_{n} \end{array}\right]$

类似地，向量 $\alpha_{i}$ 可视为向量 $\alpha_{i-1}$ 经过 $k_{i}-k_{i-1}$ 次相同的拉伸变换.

     当 $\lambda_{i}(i=\overline{1,n})$ $$ 满足 $0<\lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ 时，可以证明每次做的 $k_{i}-k_{i-1}$ 次相同的拉伸变换，向量 $\alpha_{i}$ 与向量 $\alpha_{i-1}$ 组成右手系（满足右手法则）。依次类推，可以知道向量 $\alpha_{n}$ 位于向量组 $\left\{ \alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n-1}\right\}$ 张成的 $n-1$ 维空间的右手系。因此，根据行列式性质，有

$F_{\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}}^{0,k_{2},\cdots,k_{n}}=\det\left(\left[\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\right]\right)>0$