基于能达丰富性的控制系统输入变量确定-算例

      算例1 (钢锭加热炉燃气喷嘴的布置问题). 钢锭加热问题可简化视为在2维平面上的分布式系统问题，也可经空间离散化为多变量控制系统问题。设图1所示的钢锭加热炉有2个备选燃气喷嘴布置方案，问哪个方案使钢锭加热问题的燃气喷嘴具有最大的能力和效率？

图1 燃气喷嘴布置方案

     通过离散化图1所示的2维平面为 $2\times6$ 的单元阵列，考虑到在单元间的热交换和热损失，该加热炉的两套喷嘴布置方案的离散时间模型可建模为

$x_{k+1}=Ax_{k}+B_{i}u_{k}^{(i)},\qquad u_{k}^{(i)}\in[0,1]^{r},i=1,2" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?x_{k+1}=Ax_{k}+B_{i}u_{k}^{(i)},\qquad u_{k}^{(i)}\in[0,1]^{r},i=1,2" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

其中

        $A=[a_{ij}],\qquad B_{1},B_{2}=[b_{ij}]" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?A=[a_{ij}],\qquad B_{1},B_{2}=[b_{ij}]" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

        $a_{ii}=0.95-0.03g_{i}^{x}-0.04g_{i}^{y}-\sum_{\begin{array}{c} j=1\\ j\neq i \end{array}}^{n}\left(0.15g_{i,j}^{x}+0.18g_{i.j}^{y}\right)" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{ii}=0.95-0.03g_{i}^{x}-0.04g_{i}^{y}-\sum_{\begin{array}{c} j=1\\ j\neq i \end{array}}^{n}\left(0.15g_{i,j}^{x}+0.18g_{i.j}^{y}\right)" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

        $a_{ij}=0.15g_{i,j}^{x}+0.18g_{i.j}^{y},\qquad i\neq j" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{ij}=0.15g_{i,j}^{x}+0.18g_{i.j}^{y},\qquad i\neq j" style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

        $b_{ij}=\left\{ \begin{array}{cc} f_{s}=10 & \mathrm{the\:unit\:is\:to\:nozzle\:\mathit{s}}\\ 0 & \mathrm{others} \end{array}\right." original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{ij}=\left\{ \begin{array}{cc} f_{s}=10 & \mathrm{the\:unit\:is\:to\:nozzle\:\mathit{s}}\\ 0 & \mathrm{others} \end{array}\right." style="margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$

     对元素 $a_{ij}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?a_{ij}" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$ 和 $b_{ij}" original="http://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{ij}" style="font-family:tahoma, helvetica, simsun, sans-serif, hei;font-size:14px;margin:0px;padding:0px;word-wrap:break-word;max-width:620px;display:inline;$ , 若第 $i$ 个单元在X/Y方向的外侧， $g_{i}^{x}/g_{i}^{y}$ 取1，否则为0；若第 $i$ 个和第 $j$ 个单元在X/Y方向相邻， $g_{i,j}^{x}/g_{i.j}^{y}$ 取1，否则为0。考虑到钢锭的温度只要均匀达到设定的期望温度就立即传送到下一个轧制工序，故钢锭加热问题可以视为到达控制问题(无需考虑稳定性问题)。两喷嘴布置方案选优将取决于能达丰富性计算。

     能达丰富性计算结果见表1，可以看出方案1具有更强的能达丰富性，即有更强的到达控制能力和效率。

表1 两方案的能达丰富性