多参变量描述边界的连续几何体体积计算

     在本人提出的线性连续系统的能控丰富性研究与计算中，需反复计算一个特殊连续几何体的体积。为此，给出并证明了如下基于多参变量描述边界的连续几何体的体积计算公式。

    【定理 】 $R_{c}$ 是n-维空间中包含空间原点的几何体，若对 $R_{c}$ 的边界上 $\partial R_{c}$ 的任一点 $z$ ，有如下参变量表示式

$\textrm{d}z=c_{1}(z)\textrm{d}z_{1}+c_{2}(z)\textrm{d}z_{2}+\cdots+c_{m}(z)\textrm{d}z_{m}$

其中 $m>n-1$ ,向量组 $\{c_{1}(z),c_{2}(z),\cdots,c_{m}(z)\}$ 满足

$\mathrm{rank}[z,c_{1}(z),c_{2}(z),\cdots,c_{m}(z)]=n$  且   $\quad\mathrm{rank}[c_{1}(z),c_{2}(z),\cdots,c_{m}(z)]=n-1$

即 $\textrm{d}z$ 是独立于向量 $z$ 之外的( $n-1$ )-维的平行多面体， $z_{i}(i=1,2,\ldots,m)%u4E3A$ 描述几何体 $R_{c}$ 的边界引入的一组参变量。

      对上述定义的 $R_{c}$ ，其体积可由下式计算

$\mathrm{Vol}(R_{c})=\frac{1}{n}\sum_{(k_{1},k_{2},\ldots,k_{n-1})\in\varOmega_{1,m}^{n-1}}\int_{z\in\partial R_{c}}\left|\det\left(\left[z,c_{k_{1}}(z),c_{k_{2}}(z),\cdots,c_{k_{n-1}}(z)\right]\right)\right|\textrm{d}z_{k_{1}}\textrm{d}z_{k_{2}}\cdots\textrm{d}z_{k_{n-1}}$

其中 $\Omega_{1,m}^{n-1}$ 指所有由自然数序列 $\{1,2,\cdots,m\}$ 中任取 $n-1$ 个数并按从小到大排序而得到的 $(k_{1},k_{2},\cdots,k_{n-1})$ 组成的集合。