能控丰富性与能观丰富性的对偶性

在线性系统的状态空间分析方法中，能控性与能观性是一对偶的概念，即两系统满足对偶性条件，则一系统的能控性等价于另一系统的能观性。

本人定义的能控丰富性和能观丰富性一样也具有对偶性，即若两个系统满足对偶性条件，则一系统能控丰富性强，则另一系统能观丰富性强；一系统能控丰富性弱，另一系统的能观丰富性弱。以线性离散系统为例，上述结论分析如下：

1. 能控丰富性定义为单位状态能控域的体积的值，该体积值大，则能控丰富性强；能观丰富性定义为单位状态能控域的体积的值，该体积值小，则能控丰富性强。

2. 对SISO系统，若系统矩阵A的特征值均为单实根，则无限时间的能控丰富性和能观丰富性为

   $v_{c,\infty}=\lim_{N\rightarrow\infty}V_{n}(C_{n}(G_{N}))=\left|\det(P)\right|\left|\left(\prod_{1\leq j_{1} $\lim_{N\rightarrow\infty}v_{o,N}=\frac{1}{\left|\det(P)\right|}\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

   其中矩阵 $P$ 为系统矩阵 $A$ 的所有右特征向量组成的矩阵,行向量 $q_{i}$ 为矩阵A对应特征值 $\lambda_{i}$ 的左特征向量,列向量 $p_{i}$ 为矩阵 $A$ 对应特征值 $\lambda_{i}$ 的右特征向量。

   若两系统对偶（即两者的系统矩阵互为安置，一系统的输入矩阵B和另一系统的输出矩阵C互为转置）时，一系统的能控丰富性的值为另一系统的能观丰富性的值互为倒数。
   

3. 影响能控丰富性的主要因素为

      1) 特征值的大小
   

      2) 特征值的分布(特征值有一定的差异，分布均匀)
   

      3) 输入矩阵 $B$ 的各列的模的大小

      4) 矩阵的左特征向量与向量 $B$ 的各列的角度
   

      5) 矩阵的特征向量之间的角度

   
   

4. 影响能观丰富性的主要因素为

       1) 特征值的大小
   

       2) 特征值的分布(特征值有一定的差异,分布均匀)
   

       3) 观测矩阵 $C$ 的各行的模的大小
   

       4) 矩阵 $A$ 的右特征向量与观测矩阵 $C$ 各行的角度

       5) 矩阵 $A$ 的特征向量之间的角度
   

   
   

   综合上述分析可知，若两系统互为对偶，则一系统能控丰富性强等价于另一系统的能观丰富性强