一个特殊连续几何体的体积解析计算式(整理中)

本人在研究线性定常连续系统的Controllable Abundance(能控丰富性、能控充裕性)时定义了如下一个特殊的连续几何体 $R_{c,T}$ ：

$R_{c,T}=\left\{ \left.x_{0}\right|x_{0}=-\int_{0}^{T}e^{-As}Bu_{s}\mathrm{d}s,\left\Vert u_{s}\right\Vert _{\infty}\leq1,s\in[0,T]\right\}$

考虑到该几何体的对称性，故有

$R_{c,T}=\left\{ \left.x_{0}\right|x_{0}=\int_{0}^{T}e^{-As}Bu_{s}\mathrm{d}s,\left\Vert u_{s}\right\Vert _{\infty}\leq1,s\in[0,T]\right\}$

对此几何体 $R_{c,T}$ 的体积计算在 $T\rightarrow\infty$ 有如下解析计算式：

$\lim_{T\rightarrow\infty}\mathrm{Vol}(R_{c,T})=2^{n}\left|\left(\prod_{1\leq j_{1}

其中 $\lambda_{i}>0(i=1,2,\cdots,n)$ 为矩阵 $A$ 的 $n$ 个互异的符号为正的实特征值。

上述递推式于2017年5月推导并给出.