超球面模型(MDSM)的探索与应用分享 http://blog.sciencenet.cn/u/TUGJAYZHAB 用多元向量表示系统状态,多元向量乘法群描述系统的运动,白-杰时间链连接历史和现实: Y(i,k+1)=[Y(i,k)*T(i,k)+D(i,k+1)]/2。

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逆运算推动数集扩展(重发)

已有 2315 次阅读 2018-1-11 08:38 |个人分类:MDSM 通讯|系统分类:论文交流

逆运算推动数集扩展

按:最初的征求意见稿, 2008-10-19发科学院北京植物所PLANTA,

2013-3-6 修改后发科学网,2018-1-10中译英,修改重发

 

摘要:

回顾人类对数的认识,逆运算在其中发挥了重要作用,并导出了有待证明的新命题:多元向量是数。多元向量有值,有形。形与多维空间的点一一对应;多元向量定义了对应分量加、减、乘、除的四则运算,运算满足结合律、交换律、分配律。多元向量是标量(实数)向多维空间的扩展,标量是多元向量的特例,标量(i=1) ó 向量(i=m)。多元向量与对应分量相乘的运算组成乘法群,可以用来监测、分析“多元简单巨系统”的动态。

 

关键词:数集,逆,多元向量,简单巨系统,状态转移,R^n, R^m

 

回顾数集发展的历史,人类首先认识的是自然数N123,…

首先发现的运算规则是加法1+1=2

有了加法运算的结果()之后,为了反过来求原因,2=1+X,古人发现了加法的逆运算,减法2-1=1

减法导致了人类对数的认识的一大飞跃,认识了负数(还有零):1-2=-1

人们对数的认识,数集,也从自然数 N 扩展到整数 Z整数包括零,正整数(即自然数 N),和负整数(-N)。如果用数轴来表示数集,这时的数轴好象竹子,一节一节的。数集 Z 的元素,整数,和数轴上的节一一对应。

在重复的加法运算的基础上,人们发现了乘法运算规则:由2+2=4,定义了2*2=4

有了乘法运算的结果()之后,为了反过来求原因,4=2*X,古人发现了乘法的逆运算,除法4/2=2

除法导致了人类对数的认识的又一次大飞跃,即认识了分数1/2=0.5

数的认识也因此从整数扩展到分数,数集扩大到有理数,记为 Q。有理数包括零、正有理数和负有理数,它们是有限小数或(无限)循环小数。数集发展到这个阶段,数轴上的点非常密,几乎布满了整个数轴。每一个有理数在数轴上有一个对应的点,但数轴上仍有无穷多个点,没有对应的有理数。

在重复的乘法运算的基础上,人们发现了乘方、幂的运算规则:2^2=4

有了乘方运算的结果()之后,为了反过来求原因,X^2=4,人们发现了乘方的逆运算,开方4^1/2=2

开方导致了人类对数的认识的又一次大飞跃,认识了无理数,数集也扩展到实数实数R包括有理数和无理数。无理数是无限不循环小数(更严格的定义见程老师博文),有正有负(当然,还有e等不是方根)。

这样一来,实数数轴上的点实现了(几乎)完全的一一对应。我们称“数”为“点”的坐标,“点”为“数”的投影

线上的点是一元的。为了和下面的向量对应,我们又称一元的数‘实数’为标量

数轴上的标量是一一对应的。所有的实数(标量)组成了数轴,一条线。

到这里,数的扩展出现了分叉:复平面和(实数)平面。

为了使代数方程,x^2+1=0有解,人们引入了虚数。数集从一根数轴扩展到复平面。而且,在这个方向上再进一步,发展出了四元数,i^2=j^2=k^2=ijk=-1。但四元数放弃了交换律,jk=-kj。因此,在这个分叉,数集的发展止于四元数。

数集发展的另一个方向,是不搞虚数,而是把实数扩展到2元,3元,...以至多元。

通过解多元一次方程组,人们对数(形)的认识,由线扩展到了面,扩展到了体,...扩展到了抽象的多维空间。人们把有顺序的N个实数的组合称为“数组”,也称N元向量,是N维空间的点。这样,数轴上的点和实数一一对应,平面上的点和二元数组(二元向量)一一对应;三维空间的点和三元向量一一对应;...多维空间的点和多元向量一一对应。

这时的多维空间,被称为‘线性空间’或‘样本空间’,记为R^n在这多维‘线性空间’中,仅定义了加法减法:‘分量的和做和的分量,分量的差做差的分量’。但没有定义严格意义上的向量乘法向量除法。而是仿照矩阵,定义了点乘叉乘(内积和外积),并得到了相当广泛的应用和成功。然而,点乘叉乘不封闭的,即积不属于同一个集合,不是同一个多维空间的向量,没有逆运算。而且,点乘和叉乘似乎也不满足交换律。好比复数平面,数的扩展在实数多维空间这个方向上‘似乎’也走进了一个死胡同。有人定义了对应分量相乘的矩阵乘法,这样定义的HADAMARD矩阵有逆,却不能满足“数形对应”的数集扩展的基本原则。而且,也似乎和矩阵描述变量之间线性关系的基本性质相悖,应用和推广都受到了局限。

 

世界本质上是多元的、系统的,而不是实数的、变量的。为了认识系统,描述系统的动态,对系统的状态转移求逆(比如,求草原退化的原因),人们在‘多维变量空间’里(仿照加法)定义了向量的乘法:‘分量的积做积的分量[白等,1997]’由于这样定义的向量乘法(类比对角矩阵)满足交换律、结合律、分配律;这样定义的乘法有恒等元:m个1组成的多元向量是恒等元;有逆元:分量的倒数组成逆向量。因此,这样定义的乘法有逆运算:除法。而且除法也是封闭的。即,向量积、向量商仍在同一集合内。定义了向量乘法、除法的向量空间, R^m, 得以晋升为群,记为G ,称为‘多元向量乘法群’或‘多元向量交换群’。在这个‘多元向量乘法群’,多维空间R^m 中,向量既有加法和减法,也有向量乘法、除法、和幂运算。由于运算封闭,它们运算的结果是唯一确定的,而且也与m 维空间的点是一一对应的。‘数’和‘形’在高维空间达到了新的统一。我们称“多元向量”为“多维空间点”的坐标,“多维空间点”为“多元向量(多元数组)”在多维空间的投影

这样,由逆运算推动,人类对数的认识不断扩展,实现了几次大的飞跃:从正数到负数,从整数到分数,从有理数到无理数,从标量到向量;数集扩展从点到线、由线到面、再到体、再到多维空间(线性空间、非线性空间),实现了数及其运算结果与多维空间的点一一对应的局面。至此,数及其四则运算被扩展到了多维空间,m-维空间。在多元向量乘法群,G,中,人们对数及其运算的认识完成了又一次扩展,又一次飞跃。人们对客观世界的认识、分析也从“变量分析”上升到“系统分析”:

i=1, Y=f(x)óY(i)=fx(i), i=1,2,3,…m。

 

多元向量乘法群最直接的应用之一是:通过向量除法,使多元演替系统的‘状态转移’有解(‘918猜想’)。即,一个多元系统的演替可以用,多维变量空间的点的运动轨迹来描述,用多元向量的乘法来表达:

Y(k)*T(k)=Y(k+1)

其中,Y(k)T(k)都是多元向量,下标表示时间。Y(k)表示系统在时间k的状态,而T(k)表示系统状态转移。

则通过移项(求逆)有:

T(k)=Y(k+1)/Y(k)

也即,多元演替系统的状态转移(T(k))是后、前系统状态向量的商(Y(k+1)/Y(k))。

 

而可以用多元向量描述的这种多元的、分量之间线性无关的、一盘散沙似的、无序的、不成系统的系统(比如草原),却是最自然,最可持续的系统。因而应该是最本源的系统,最值得我们研究的系统。我们暂时称之为简单巨系统。所谓简单,因其变量之间线性无关,所谓,因其变量多。

 

自然界的一些资源竞争系统(变量之间因资源竞争而互相独立,所以无序,生产力低,却因此而可持续),如草原,股市,以致人类社会,都可以被认为是简单巨系统

 

而从以上的讨论出发,也许我们可以提出一个(待证)新命题:向量是标量的扩展,标量是向量的特例。

进而对那个基本问题:“什么是数”,补充一个新的内容:和标量一样,向量是数。它具有数的全部性质:有值,有形,能做加、减、乘、除四则运算,运算满足交换律、结合律、分配律。

所以,多元向量是数,而矩阵、四元数不是数,或至少是不完全的数。

 

参考资料:

1】“九一八猜想”:《数学手册》高等教育出版社,1977,第1页,第918页。

2】Martin and Patricia Perkins: Advanced Mathematics. CollinsEducational, 1994

3】白, 1997 T.Jay Bai, et al., MultiDimensional Sphere Model and Instantaneous  Vegetation Trend Analysis. Ecological Modelling, 97, 75-86. 见《科学网》链接: http://blog.sciencenet.cn/blog-333331-449959.html

 4】梁,2008http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?p=78581#78581

科学网再发:逆运算在数集扩展中的作用,http://blogdsciencenet.cn/blog-333331-439738.html  




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1 刘炜

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