逆运算推动数集扩展

按：最初的征求意见稿, 2008-10-19发科学院北京植物所PLANTA,

2013-3-6 修改后发科学网，2018-1-10中译英，修改重发

摘要：

回顾人类对数的认识，逆运算在其中发挥了重要作用，并导出了有待证明的新命题：多元向量是数。多元向量有值，有形。形与多维空间的点一一对应；多元向量定义了对应分量加、减、乘、除的四则运算，运算满足结合律、交换律、分配律。多元向量是标量（实数）向多维空间的扩展，标量是多元向量的特例，标量(i=1) ó 向量(i=m)。多元向量与对应分量相乘的运算组成乘法群，可以用来监测、分析“多元简单巨系统”的动态。

关键词：数集，逆，多元向量，简单巨系统，状态转移,R^n, R^m

回顾数集发展的历史，人类首先认识的是自然数，N：1，2，3，…

首先发现的运算规则是加法：1+1=2。

有了加法运算的结果(和)之后，为了反过来求原因，2=1+X，古人发现了加法的逆运算，减法：2-1=1。

减法导致了人类对数的认识的一大飞跃，认识了负数（还有零）：1-2=-1。

人们对数的认识，数集，也从自然数 N 扩展到整数 Z。整数包括零，正整数（即自然数 N），和负整数（-N）。如果用数轴来表示数集，这时的数轴好象竹子，一节一节的。数集 Z 的元素，整数，和数轴上的节一一对应。

在重复的加法运算的基础上，人们发现了乘法运算规则：由2+2=4，定义了2*2=4。

有了乘法运算的结果(积)之后，为了反过来求原因，4=2*X，古人发现了乘法的逆运算，除法：4/2=2。

除法导致了人类对数的认识的又一次大飞跃，即认识了分数：1/2=0.5。

数的认识也因此从整数扩展到分数，数集扩大到有理数，记为 Q。有理数包括零、正有理数和负有理数，它们是有限小数或（无限）循环小数。数集发展到这个阶段，数轴上的点非常密，几乎布满了整个数轴。每一个有理数在数轴上有一个对应的点，但数轴上仍有无穷多个点，没有对应的有理数。

在重复的乘法运算的基础上，人们发现了乘方、幂的运算规则：2^2=4。

有了乘方运算的结果(幂)之后，为了反过来求原因，X^2=4,人们发现了乘方的逆运算，开方：4^（1/2）=2。

开方导致了人类对数的认识的又一次大飞跃，认识了无理数，数集也扩展到实数。实数R包括有理数和无理数。无理数是无限不循环小数（更严格的定义见程老师博文），有正有负（当然，还有e等不是方根）。

这样一来，实数和数轴上的点实现了（几乎）完全的一一对应。我们称“数”为“点”的坐标，“点”为“数”的投影。

线上的点是一元的。为了和下面的向量对应，我们又称一元的数‘实数’为标量。

数轴上的点和标量是一一对应的。所有的实数（标量）组成了数轴，一条线。

到这里，数的扩展出现了分叉：复平面和（实数）平面。

为了使代数方程，x^2+1=0有解，人们引入了“虚数”。数集从一根数轴扩展到复平面。而且，在这个方向上再进一步，发展出了四元数，i^2=j^2=k^2=ijk=-1。但四元数放弃了交换律，jk=-kj。因此，在这个分叉，数集的发展止于四元数。

数集发展的另一个方向，是不搞虚数，而是把实数扩展到2元，3元，...以至多元。

通过解多元一次方程组，人们对数（形）的认识，由线扩展到了面，扩展到了体，...扩展到了抽象的多维空间。人们把有顺序的N个实数的组合称为“数组”，也称N元向量，是N维空间的点。这样，数轴上的点和实数一一对应，平面上的点和二元数组（二元向量）一一对应；三维空间的点和三元向量一一对应；...多维空间的点和多元向量一一对应。

这时的多维空间，被称为‘线性空间’或‘样本空间’，记为R^n。在这多维‘线性空间’中，仅定义了加法，减法：‘分量的和做和的分量，分量的差做差的分量’。但没有定义严格意义上的向量乘法和向量除法。而是仿照矩阵，定义了点乘和叉乘（内积和外积），并得到了相当广泛的应用和成功。然而，点乘和叉乘是不封闭的，即积不属于同一个集合，不是同一个多维空间的向量，没有逆运算。而且，点乘和叉乘似乎也不满足交换律。好比复数平面，数的扩展在实数多维空间这个方向上‘似乎’也走进了一个死胡同。有人定义了对应分量相乘的矩阵乘法，这样定义的HADAMARD矩阵有逆，却不能满足“数形对应”的数集扩展的基本原则。而且，也似乎和矩阵描述变量之间线性关系的基本性质相悖，应用和推广都受到了局限。

世界本质上是多元的、系统的，而不是实数的、变量的。为了认识系统，描述系统的动态，对系统的状态转移求逆（比如，求草原退化的原因），人们在‘多维变量空间’里（仿照加法）定义了向量的乘法：‘分量的积做积的分量[白等，1997]’。由于这样定义的向量乘法（类比对角矩阵）满足交换律、结合律、分配律；这样定义的乘法有恒等元：m个1组成的多元向量是恒等元；有逆元：分量的倒数组成逆向量。因此，这样定义的乘法有逆运算：除法。而且除法也是封闭的。即，向量积、向量商仍在同一集合内。定义了向量乘法、除法的向量空间, R^m, 得以晋升为群，记为G ，称为‘多元向量乘法群’或‘多元向量交换群’。在这个‘多元向量乘法群’，多维空间R^m 中，向量既有加法和减法，也有向量乘法、除法、和幂运算。由于运算封闭，它们运算的结果是唯一确定的，而且也与m 维空间的点是一一对应的。‘数’和‘形’在高维空间达到了新的统一。我们称“多元向量”为“多维空间点”的坐标，“多维空间点”为“多元向量（多元数组）”在多维空间的投影。

这样，由逆运算推动，人类对数的认识不断扩展，实现了几次大的飞跃：从正数到负数，从整数到分数，从有理数到无理数，从标量到向量；数集扩展从点到线、由线到面、再到体、再到多维空间（线性空间、非线性空间），实现了数及其运算结果与多维空间的点一一对应的局面。至此，数及其四则运算被扩展到了多维空间，m-维空间。在多元向量乘法群，G，中，人们对数及其运算的认识完成了又一次扩展，又一次飞跃。人们对客观世界的认识、分析也从“变量分析”上升到“系统分析”：

i=1, Y=f(x)óY(i)=fx(i), i=1,2,3,…m。

多元向量乘法群最直接的应用之一是：通过向量除法，使多元演替系统的‘状态转移’有解（‘918猜想’）。即，一个多元系统的演替可以用，多维变量空间的点的运动轨迹来描述，用多元向量的乘法来表达：

若 Y_(k)*T_(k)=Y_(k+1)，

其中，Y_(k)，T_(k)都是多元向量，下标表示时间。Y_(k)，表示系统在时间k的状态，而T_(k)表示系统状态转移。

则通过移项（求逆）有：

T_(k)=Y_(k+1)/Y_(k)。

也即，多元演替系统的状态转移（T_(k))是后、前系统状态向量的商（Y_(k+1)/Y_(k)）。

而可以用多元向量描述的这种多元的、分量之间线性无关的、一盘散沙似的、无序的、不成系统的“系统”（比如草原），却是最自然，最可持续的系统。因而应该是最本源的系统，最值得我们研究的系统。我们暂时称之为“简单巨系统”。所谓“简单”，因其变量之间线性无关，所谓“巨”，因其变量多。

自然界的一些资源竞争系统（变量之间因资源竞争而互相独立，所以无序，生产力低，却因此而可持续），如草原，股市，以致人类社会，都可以被认为是“简单巨系统”。

而从以上的讨论出发，也许我们可以提出一个（待证）新命题：向量是标量的扩展，标量是向量的特例。

进而对那个基本问题：“什么是数”，补充一个新的内容：和标量一样，向量是数。它具有数的全部性质：有值，有形，能做加、减、乘、除四则运算，运算满足交换律、结合律、分配律。

所以，多元向量是数，而矩阵、四元数不是数，或至少是不完全的数。

参考资料：

【1】“九一八猜想”：《数学手册》高等教育出版社，1977，第1页,第918页。

【2】Martin and Patricia Perkins: Advanced Mathematics. CollinsEducational, 1994。

【3】白， 1997： T.Jay Bai, et al., MultiDimensional Sphere Model and Instantaneous  Vegetation Trend Analysis. Ecological Modelling, 97, 75-86. 见《科学网》链接： http://blog.sciencenet.cn/blog-333331-449959.html

 【4】梁，2008，http://www.planta.cn/forum/viewtopic.php?p=78581#78581

科学网再发：逆运算在数集扩展中的作用，http://blogdsciencenet.cn/blog-333331-439738.html