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渐近方法怪论5-初值、边值和固有值问题

已有 488 次阅读 2020-3-4 17:22 |个人分类:教学笔记|系统分类:教学心得| 渐近方法怪论

(此篇为课程插曲,因审核原因,忍痛删掉了两幅形象的漫画)


        与代数方程不同,求解微分方程时,除了方程本身,还要考虑初始条件和边界条件。往往是这些定解条件的不同,会导致结果的千变万化。就像流体力学问题,NS方程就一个,但是由于初始和边界条件的差别,流动图像可以千姿百态。我们就先来了解一下定解条件对方程求解的影响吧。

        以二阶常微分方程为例,根据定解条件的提法,常微分方程求解问题可分为三类:初值问题、边值问题和特征值(或称本征值、固有值)问题。它们有什么区别呢?

往年在课堂上提问学生,有人答曰:如果是对时间$ t $微分,需要初始条件,就是初值问题;如果是对空间$ x $微分,需要边界条件,就是边值问题。这种说法对吗?其实,这个分类与对什么微分没一点儿关系。数学方程自变量可以随便换,与具体物理量不一定有什么对应关系。


初值问题指定解条件都给在求解区间的一端,数值求解时,知道了函数在此点的值和导数,就能确定下一点情况,依次类推,求出整个区域。形象地说,就像初级射手打靶时“打哪指哪”——手枪(或大炮、弓箭)的位置和发射角都固定了,子弹的整个轨迹就确定了,最终击中哪里算哪里,如图1所示。


图1 打哪指哪 (图片来自网络)

边值为题指定解条件给在求解区间的两端。形象地说,就像神枪手打靶时“指哪打哪”——手枪的位置固定了,靶子位置也固定了,枪手需要调整发射角,让子弹准确击中特定目标。这个就比“打哪指哪”要求高了,一般人很难一次打准。不过,可以多试几次,第一次打的偏高了,就把枪口下调一点再打一次,又打低了的话,就调高一点,多次调整后,最终总能打中十环,如图2所示。其实,数值计算中也是采用类似策略,如果在区间一端已知一个函数值,就先要在该端再估计一个导数值(反之也一样),往前推进求解到另一端,发现不对,就做相应校正,重新求解。多次预估校正后,最终可求得满足精度的解。


图2 指哪打哪 (图片来自网络)

可见,求解边值问题要比求解初值问题麻烦,如图3所示,特别是遇到无穷域问题时更是如此。做“指哪打哪”的神枪手总要比做“打哪指哪”的菜鸟更难些嘛!

 

图3 初值问题与边值问题求解 

那么什么是特征值问题呢?它是指求齐次方程在齐次边界条件下的非平凡解的问题。方程中含有某些待定的参数,只有这些参数取离散的特定值的时候,方程才有非平凡解。否则,方程只有平凡解。我们需要确定这些参数的特定取值(称特征值、本征值或固有值)及相应的解(称特征函数或本征函数)。此前介绍过的贝塞尔函数就是一个特征值问题的特征函数。想象一个圆形的弹性薄膜鼓面,周围被固定在圆筒上,鼓槌敲击鼓面后,鼓面开始振动。鼓面尺寸及材料的密度、弹性等确定了系统振动的一系列离散的固有频率,相应地,鼓面振动有一系列振型,就是各阶贝塞尔函数。鼓面的形状就是一系列贝塞尔函数的叠加,如图4所示。两端固支的梁振动、琴类乐器丝弦的振动等都与此类似。量子力学中的离散的电子轨道、振动能级等,也都是特征值问题。

drum-vib.png

图4 中心对称敲击鼓面前四阶振型(图片来自网络)

这三类问题我们后续课程都要讲到。


(2020年3月3日初稿)




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