（此篇为课程插曲，因审核原因，忍痛删掉了两幅形象的漫画）

        与代数方程不同，求解微分方程时，除了方程本身，还要考虑初始条件和边界条件。往往是这些定解条件的不同，会导致结果的千变万化。就像流体力学问题，NS方程就一个，但是由于初始和边界条件的差别，流动图像可以千姿百态。我们就先来了解一下定解条件对方程求解的影响吧。

        以二阶常微分方程为例，根据定解条件的提法，常微分方程求解问题可分为三类：初值问题、边值问题和特征值（或称本征值、固有值）问题。它们有什么区别呢？

往年在课堂上提问学生，有人答曰：如果是对时间$ t $微分，需要初始条件，就是初值问题；如果是对空间$ x $微分，需要边界条件，就是边值问题。这种说法对吗？其实，这个分类与对什么微分没一点儿关系。数学方程自变量可以随便换，与具体物理量不一定有什么对应关系。

初值问题指定解条件都给在求解区间的一端，数值求解时，知道了函数在此点的值和导数，就能确定下一点情况，依次类推，求出整个区域。形象地说，就像初级射手打靶时“打哪指哪”——手枪（或大炮、弓箭）的位置和发射角都固定了，子弹的整个轨迹就确定了，最终击中哪里算哪里，如图1所示。

图1 打哪指哪 （图片来自网络）

边值为题指定解条件给在求解区间的两端。形象地说，就像神枪手打靶时“指哪打哪”——手枪的位置固定了，靶子位置也固定了，枪手需要调整发射角，让子弹准确击中特定目标。这个就比“打哪指哪”要求高了，一般人很难一次打准。不过，可以多试几次，第一次打的偏高了，就把枪口下调一点再打一次，又打低了的话，就调高一点，多次调整后，最终总能打中十环，如图2所示。其实，数值计算中也是采用类似策略，如果在区间一端已知一个函数值，就先要在该端再估计一个导数值（反之也一样），往前推进求解到另一端，发现不对，就做相应校正，重新求解。多次预估校正后，最终可求得满足精度的解。

图2 指哪打哪 （图片来自网络）

可见，求解边值问题要比求解初值问题麻烦，如图3所示，特别是遇到无穷域问题时更是如此。做“指哪打哪”的神枪手总要比做“打哪指哪”的菜鸟更难些嘛！

图3 初值问题与边值问题求解 

那么什么是特征值问题呢？它是指求齐次方程在齐次边界条件下的非平凡解的问题。方程中含有某些待定的参数，只有这些参数取离散的特定值的时候，方程才有非平凡解。否则，方程只有平凡解。我们需要确定这些参数的特定取值（称特征值、本征值或固有值）及相应的解（称特征函数或本征函数）。此前介绍过的贝塞尔函数就是一个特征值问题的特征函数。想象一个圆形的弹性薄膜鼓面，周围被固定在圆筒上，鼓槌敲击鼓面后，鼓面开始振动。鼓面尺寸及材料的密度、弹性等确定了系统振动的一系列离散的固有频率，相应地，鼓面振动有一系列振型，就是各阶贝塞尔函数。鼓面的形状就是一系列贝塞尔函数的叠加，如图4所示。两端固支的梁振动、琴类乐器丝弦的振动等都与此类似。量子力学中的离散的电子轨道、振动能级等，也都是特征值问题。

图4 中心对称敲击鼓面前四阶振型（图片来自网络）

这三类问题我们后续课程都要讲到。

（2020年3月3日初稿）