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渐近方法怪论1-绪论1

已有 1378 次阅读 2020-2-19 19:48 |个人分类:教学笔记|系统分类:教学心得| 渐近方法怪论

(注:今天第一次上网课,除了一开始出点网络小问题,整体效果还可以。没有直面受众,没有黑板,感觉怪怪的,网络主播都这样吗?绪论讲了一多半,又按李老师建议,补充了一些应用数学例子(开阔视野、提高素养,与课程不直接相关)。先把绪论发出来一部分。要通过绪论给同学们增加信心和兴趣,准备起来不容易。)


       开始正式上课了,在进入具体内容之前,我们先讲一个绪论,回答一下同学们最关心的问题,谈谈这门课程的特点、内容概要和学习方法等。

       最近网上流行用“硬核”(Hardcore)一词,我专门去查了它的意思,它被用来形容“面向核心受众、具有一定难度和欣赏门槛的事物”。从这层意思上讲,我们的课程可以称得上是一门硬核课程。从往年上课情况来看,一定有不少同学在课前已经翻过我们的教材了。翻过之后有什么反应呢?我推测至少有两种情况:其一,有些同学感觉自己本科学习的数学基础知识不太够,比如没学过复变函数、数理方程,不熟悉某些特殊函数(Bessel函数、Legendre函数、Airy函数等),补习起来还比较吃力,这样可能被书本上某些深奥的数学知识吓倒了,担心考试要挂科;其二,另有一些同学,本身数学知识是具备的,但也还会觉得书本上的某些推导太繁琐了,有点枯燥无聊,还有点怀疑:花这么多精力学这门课,除了应付考试,在我以后的科研工作中还有用吗?简单来说,就是信心和兴趣的问题,或者说,太难了!会挂吗?太烦了!有用吗?

       我认为有这些想法很正常,我也是过来人,当年和大家一样。现在可以告诉大家,不必着急和担心,这些问题接下来我会一一解答。这门课重在教大家领会一种抓主要矛盾、进行近似分析的思想方法,具体的推导技巧和高深数学知识倒在其次。特别是疫情当前,远程网络教学条件下,有诸多不便,我们就便宜行事,灵活调整。希望大家跟上老师的宏观思路,进行哲学推理式的逻辑思考,再进行互动问答和典型练习。总之,不太难!不太烦!努力了,不会挂!学会了,很有用!

0.1 课程名称解释

       课程的名称叫做《数学物理中的渐近方法》,一共10个汉字,其中有8个字大家都能理解,唯有“渐近”二字你们可能稍感陌生。那么“渐近”到底是什么意思呢?先顾名思义,渐近就是逐渐逼近之意。在意思上,它很容易与“收敛”混淆,这个我们在第一章中会辨析二者的区别。在字面上,它很容易被误写为“渐进”。大家知道有一个成语——循序渐进,此“渐进”非彼“渐近”,虽然二者都有逐渐变化的意思,但千万不要误用、混用。拼音输入法排第一的是“渐进”,且有可能找不到“渐近”这个词,所以一般人是很容用错的。某一年教务处排课表时也把我们的课程名字写错,我发了提醒才改过来。能够弄清楚“渐近”和“渐进”的区别,你就算对这门课有点入门了。

       我们先来看“渐近”,严格定义它是很难的,中文维基百科和百度百科的说法基本一样:

渐近分析是一种描述函数在极限附近的行为的方法。

英文Wikipedia上的相应表述为:

In mathematical analysis, asymptotic analysis, also known as asymptotics, is a method of describing limiting behavior.

       不论中文英文,都有一个关键词——“极限”。也就是说,“渐近”的变化是朝着某个极限进行的,它有目标!一步变化就和目标八九不离十了,第二步可能就达到目标99%了,再一步变化就更趋近目标了。而“渐进”的变化则没有明确目标,它只有一个趋势,只要单调进步就行。所谓“好好学习,天天向上”,“上”到什么程度为止呢?学无止境,没法界定,可以“渐行渐远渐无穷”。用英文来说,“渐近”和“渐进”,就是“approach”和“progress”的区别。下图1给出了“渐近”和“渐进”的形象对比。注意,渐近不但可以单侧趋近,也可以双侧来回跳跃着趋近,不仅可以趋近于一个值,更一般地是趋近于一个函数。比如,当$ x \to 0$时,$\sin x$ 就趋近于 $x$。至于渐近趋近的细节特性,是我们接下来要讲的内容,现在首先要求大家以后不能把我们课程名字写错了

 

图1 渐近(左)与渐进(右)对比示意图

0.2 课程性质

       我们接下来介绍这门课的性质。它与以前学的课程有什么联系和区别?它有什么特点属性?宏观来说,我们可以称这门课是:1,数学物理方程的续篇;2,近似求解方法的汇集;3,应用数学的重要分支。下面分别加以解释。

0.2.1 数学物理方法的续篇

      看到课程的名字《数学物理中的渐近方法》,不免让人想到本科的数学课程《数学物理方法》或《数学物理方程》,相信有不少同学都学过这门课。那么二者有什么关系吗?

       《数学物理方法》是教我们认识和求解几种常见的常微分(ODE)和偏微分方程(PDE)的一门课程。一个常见的ODE例子是描述天体运动的万有引力方程(n体系统):

$$\frac{\textrm{d}^{2} \mathbf{x}_{i}(t)}{\textrm{d} t^{2}}=G \sum_{k=1 \atop k \neq i}^{n} \frac{m_{k}\left(\mathbf{x}_{k}(t)-\mathbf{x}_{i}(t)\right)}{\left|\mathbf{x}_{k}(t)-\mathbf{x}_{i}(t)\right|^{3}},$$

一般只有二体系统才有简单的积分解,三体及以上就麻烦了。有很多与之相关的名人故事,比如庞加莱(Jules Henri Poincare,1854-1912)就因为求解限制性三体问题而一鸣惊人,我们后面会详细讲到他。另一个典型例子是振动方程:

$$ \ddot{x}+\mu\dot{x}+\omega^2 x=f(t). $$

它也是可以直接求解的。大家还记得怎么吗?我们就考虑简单情况,不要非齐次项了,请大家回忆一下它的解法。

       常见的PDE有哪些呢?从物理模型角度,有三类典型的方程是必学內容,分别为波动方程、扩散方程(又称热传导方程)和平衡方程,从数学形式上,它们分别属于双曲型、抛物型和椭圆型方程。三维情况下,这三类方程形式上可分别写为:

\[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \Delta u, \qquad  \frac{\partial u}{\partial t}=a \Delta u, \qquad \Delta u=0 \]

       PDE求解方法有哪些呢?一般教材上都会讲积分变换、分离变量和格林(Green)函数方法等。这些方法学过的同学可能还有点印象,但时间长了,也记不清楚,没学过的话可能都不知道我在说什么。但都不要害怕,我们这门课并不专门涉及和依赖这些知识。

       我们在本课程中要学习的是更高级、更难的?!以上几个模型方程中,天体运动方程只考虑二体系统,其余的方程都是线性和常系数的。三体系统怎么办?变系数方程和非线性方程怎么办?还有一个问题,一般曲线坐标系的PDE比直角坐标系也更为麻烦,怎么求解呢?这门课就要教大家解决这些问题,所以可以称本课程为数学物理方程的续篇。看到这里,同学们是否觉得太难、太麻烦了啊?事实并非如此。我们不是要求精确解,这种情况下精确解一般也是不存在的,我们求的是近似解

0.2.2 近似求解方法的汇集

       近似,是与精确相对的。对比起来,一般人可能都认为精确解要比近似解好,能求精确解才体现出水平高。我想从两个角度谈一下这个问题,希望能够更新一下大家对精确和近似的认识。其一,并非所有情况下都能求精确解,实际问题一般都是没法求精确解的;其二,很多情况下,近似解反而要比精确解好。

0.2.2.1 近似是不得已而为

       为了理解自然、探索自然,或为了服务工农业生产而建立并发展起来的。在建立之初和发展早期,当然是关注最简单、最理想化的情形,这些情况是有可能精确描述的。比如流体力学中两个无穷大平行平板之间的Couette流动,无穷长圆管中的Hagen-Poiseuille流动等等,都有漂亮的精确解,如图2所示。但是这种极端理想化的情况大多仅具有理论意义,并且能找到的类似精确解也很少。屈指算来,流体力学中能找到的精确解总共也就80多个。(你要是能再多找一个,马上就可以发表在流体力学顶级期刊JFM上,你导师就让你毕业了。)

图2 Couette流动(上)与Hagen-Poiseuille流动(下)示意图(图片来自网络)

     

       事实上,随着我们对自然现象认识的不断深入,随着工农业发展需求的不断提高,我们遇到的绝大多数实际问题,都是不能精确求解的。这里举两个典型的例子,一个是天文学中的三体问题,一个是航空工业飞机设计中的流体力学问题。

       上面提到,我们对两个天体在万有引力作用下的运动状态可以进行精确的描述,但是一旦再加上第三个天体,就麻烦了。有人比喻说,多体问题就像小孩学数数,“One, two, many”,一个和两个都好理解和描述,一到三体问题,难度一下就上来了。请想象我们的太阳系,或任何一个其他星系,都是有许多天体组成的,不可能找出一个或两个孤零零的、不受其他天体影响的系统。(大家听说过无穷大真空环境中的“球形鸡”或“球形羊”的笑话吗?)所以研究多体系统的动力学是不可回避的。法国大数学家庞加莱(Poincare)因为求解限制性三体问题而获得奥斯卡二世(OscarⅡ)大奖。什么是限制性三体问题呢?它指的是其中一个天体质量远小于另外两个天体,因而它的影响可视为对另两个天体运动的一个小扰动——正规术语就是摄动,例如太阳-地球-月球系统、地球-月球-太空船系统都是限制性三体问题的典型例子,如图3所示。后续课程中一个重点内容——长期项型奇异摄动问题就起源于天文学研究,我们到时将介绍包含庞加莱主要贡献的求解方法——Poincare-Lighthill-Kuo(PLK)方法,其中Kuo就是郭永怀先生(李院士的导师)。

sun-earth-moon.png

图3 太阳-地球-月球系统示意图(图片来自网络)

       大家都应该听说过哈雷彗星,相对其他彗星,哈雷彗星很有名,因为它肉眼可见,回归周期又不是太长(76年左右)。中国历史上很早就有对哈雷彗星的记载,因为《淮南子·兵略训》上有一句“武王伐纣,……彗星出,而授殷人其柄”,现在还有人用它来推算武王伐纣的确切年代。它的轨道周期,最早是由英国物理学家埃德蒙·哈雷 (Edmond Halley,1656—1742,曾督促并资助牛顿出版《自然哲学的数学原理》)根据万有引力定律推算出来的,当时哈雷已经粗略考虑了土星和木星引力的影响。综合考虑主行星的引力摄动和靠近太阳时的蒸发效应,发现哈雷彗星轨道周期可在76到79年之间变化。

three-bodies.png

图4 行星轨道摄动示意图(图片来自网络)


       根据引力摄动,人们还发现了海王星。海王星被称为“计算出来的行星”,是唯一利用数学预测而非有计划的观测发现的行星。之前的几颗行星,都是肉眼可见或望远镜观测到的,最外围的就是天王星。天王星绕太阳运行过程中,还受到木星和土星引力的影响,但即使把这些因素都考虑了,天文学家还是发现它的轨道有点异常,因此推测在天王星轨道外侧还有一个行星存在,如图4所示。根据摄动理论,可以计算出这颗未知行星在某特定时间出现的位置,后来人们果然用望远镜在预测的时间和方位观测到了海王星。基于同样的方法,人们根据海王星轨道的摄动,发现了冥王星。以前冥王星被当作是太阳系的第九大行星,现在它已经被降级为矮行星了。不过,最近看科技新闻,人们又在推测太阳系的外围可能还存在一个行星。

       顺便多说几句。三体问题只有在特定初始条件下才能得到封闭轨道周期解,一般情况下没有周期解,最终甚至会演化成混沌(确定性混沌)。人们一直没有放弃对新型周期解的探寻,目前借助计算机甚至人工智能技术,已经有了新的发现。最近,国外科学家和国内上海交大的廖世俊教授等先后发现了几千个全新的周期解。(听过报告,似乎这些解分为数学解和物理解,数学解是精确解,物理解用到了不确定性原理。)


       对三体问题的研究主要还是为了理解自然的运行法则,接下来要讲的飞机设计的例子将展示渐近方法怎么促进航空工业的发展。我们知道,莱特兄弟(Wright Brothers)在1903年 12月17日首次实现了有动力的、机身比空气重的(heavier than air)飞机的长时间飞行。早期飞机的设计有很大的经验成分,后来为了追求更高、更远和更安全的飞行性能,空气动力学理论被用于飞机升阻力设计,并发挥越来越大的作用。其实,在一开始,空气动力学理论的应用遇到了一个很大的难题。

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图5 飞机受力示意图(图片来自网络)


       流体力学理论的建立经历了从无粘流动到粘性流动的发展过程。无粘流动可以用欧拉(Euler)方程描述,但欧拉方程预测:在流体中运动的物体所受阻力为零。这一结果显然与人们的实际感受相悖,历史上称为“达朗贝尔佯谬”(D'Alembert's paradox)。要解决佯谬就必须考虑流体粘性的作用,粘性流动可以采用纳维尔-斯托克斯(Navier-Stokes)方程组来描述,它是一个二阶非线性偏微分方程组(简称N-S方程),极难求解。到现在为止,N-S方程解的存在性、惟一性、光滑性和稳定性等还未得到根本解决,它被美国克雷数学研究所列为七个“千禧难题”(又称世界七大数学难题)之一,谁能解决它就可获得百万美元大奖。在早期缺少计算机的情况下,N-S方程是不可能直接用于指导飞机设计的。

       粘性效应的影响大小通常用雷诺(Reynolds)数$Re=\rho U L/\mu$表示,它代表了惯性力与粘性力之比。对于飞机的飞行来说,代入数据可以算出流动雷诺数是很高的($10^7-10^9$)。因此,表面上看,似乎粘性效应又是可以忽略的,但忽略粘性后又回到了“达朗贝尔佯谬”,这是一个无解的死循环。

       这一难题最终被近代流体力学之父普朗特(Ludwig Prandtl,1875-1953,钱学森先生的师爷)解决了。原来,对于飞机飞行所涉及的流动问题,粘性确实不能忽略,但它的影响局限在紧贴壁面的一个薄层——边界层内,如图6所示。以飞机或机翼的尺寸为特征尺度定义的雷诺数很高,但是以边界层厚度为特征尺寸定义的雷诺数却是很低的。这样,只需在边界层内求解简化的N-S方程,边界层之外的区域仍可以采用无粘的欧拉方程求解,这样就能够把空气动力学理论用于飞机阻力计算了。这种既抓住关键物理因素,又可以简化计算的方法逐步发展成为一种系统的、标准的处理奇异摄动问题的方法,即边界层理论。这也是我们后续要重点讲述的一个内容。

wing-BL.png
图6 机翼表面边界层流动示意图(图片来自网络)


       以上是两个典型的例子。其实在历史上,为了求解复杂实际问题——特别是非线性问题,为了弥补计算工具上的种种不足,物理学家和应用数学家们已经发展出许多用于近似分析的渐近方法。下面罗列几个代表人物及其工作,就不再展开讲了,后续课程中会部分涉及。

  • G. G. Stokes (1847):非线性水波问题

  • H. Poincare (1892):三体问题、长期项;

  • L. Prandtl (1904):边界层理论

  • WKB(Wentzel–Kramers–Brillouin) (1926):量子力学、转向点问题

  • A. A. Andronov (1935):动力学系统稳定性

  • W. C. Tsien (1948) :薄板大挠度问题、合成展开法

  • Y. H. Kuo (1953):高阶边界层、PLK方法

  • C. C. Lin (1955):流动稳定性、星系螺旋的密度波理论


       另外,在2001年,《力学进展》杂志创刊30周年,纪念活动中有一项问卷调查(调查结果也有争议),评选出了“20世纪理论与应用力学十大进展”(力学进展,2001,31(3):322-326),包括:1,有限元方法;2,断裂力学;3,生物力学的创立;4,稳定性、分叉、混沌理论;5,边界层理论;6,塑性力学和位错理论;7,湍流统计理论;8,奇异摄动理论;9,力学的公理化体系;10,克服声障、热障的力学理论。其中有四个进展(4,5,8,10)是直接与渐近方法相关的。

0.2.2.2 近似反比精确好

       以上部分,我们以具体例子,说明了发展近似求解方法是解决实际问题的必然选择。接下来我们将看到,在很多时候,精确反而不如近似好。这个说法乍听起来不可接受,我们从三个角度来解释


       首先,从真实物理的角度来说,任何一个现象涉及的物理因素都是复杂的,从宇宙尺度到量子尺度,层层关联,不可能绝对严格地描述。因而,一切看似精确的方程,本来都是在一定模型上的近似。流体力学的N-S方程是不是近似?它是在连续介质假设基础上,对宏观流动行为的一种近似。牛顿第二定律是不是近似?它也是相对论在描述低速运动物体时的近似。你还可以接着问一句:相对论是不是近似理论?

       其次,从求解方程的角度来说,精确求解也不可能。一般物理方程都是非线性的,即使是线性方程情况,初始条件和边界条件也可能是复杂的,不可避免要近似取舍。比如研究小球自由落体,需要考虑几光年之外星球运动引力波的影响吗?需要考虑地球另一面某人位置移动的影响吗?需要考虑校园后山一只蚂蚁爬动的影响吗?如果不考虑,那就是近似。这些例子很极端,但也很能说明问题。即使你认为极端理想的情况,能够精确给初边值条件了,不是还有海森堡(Werner Heisenberg,1901-1976)的不确定性原理在嘛?你不可能同时精确给定位置和速度的初始条件,如图7所示。

uncertainty-principle.jpg

图7 不确定性原理的漫画(图片来自网络)

       最后,再从结果表达的角度来说,即使求出精确解,往往也不好用。某些精确解最终以积分形式表达,比如Stokes第一问题:一个平板在粘性流体中突然起动,它的速度分布解以误差函数形式表达。还有些精确解以特殊函数的形式表达,比如圆柱传热问题,就不得不用到Bessel函数,球坐标下还会遇到Legendre函数。这些精确解仍然无法给出具体数据或难以直观显示规律特性,而工程应用中都是要具体数字的,只能再做近似。实际上还有相当多问题,结果要用无理数表示(问:无理数多还是有理数多?),如$\sqrt{2}$、$\ln 3$、$\pi$等,实际使用时,这些无理数也要截断。你去买菜时,如果说“给我来$\sqrt{2}\pi$”斤土豆,那就尴尬啦!


  

图8 关于无理数(图片来自网络)

      所以,我们看到,在提出模型方程、求解方程和使用其结果时,都会遇到各种各样的近似。近似是不可避免的!越精确越不好用,精确方法适用面太窄,还是近似方法好。为了求解一个非常困难的问题,何不再来一次近似?何况是可控的近似(逐次求解,逐渐逼近)。


       好了,既然近似不可避免,又这么好、这么实用,那怎么做近似呢?近似也不能太随便,这个差不多,那个差不多,糊涂起来就成“差不多先生”了(问:有哪些同学读过胡适的《差不多先生传》?)。近似也要有原则,有指导思想,有方法论,而这些正是我们课程要教给大家的。所以说,这门课可称为近似求解方法的汇集


0.2.3 应用数学的重要分支

(欲知后事如何,且听下回分解。)








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2 赵志宏 王安良

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