王国维在《人间词话》中提出：“词以境界为最上。有境界自成高格，自有名句。”他认为 ：“境非独谓景物也，喜怒哀乐亦人心中之一境界。故能写真景物真感情者，谓之有境界。否则谓之无境界。”他说：“有造境，有写境，此‘理想’ 与‘写实’ 二派之所由分。”他还把境界分为 “无我之境”和“有我之境”。 对诗人的修养，他指出“诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。入乎其内，故能写之；出乎其外，故能观之。入乎其内，故有生气；出乎其外，故有高致。” 另外，王国维还借用古代诗人的词句提出了著名的治学“三境界”。按我的理解，这三个境界依次是“志存高远、艰苦探索、最终顿悟”。

我认为：评价一项数学成就的高低，也应该是境界为上 。数学的境界有些方面是与诗歌境界相通的，数学家也要“对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。”数学也有“造境”与“写境”之分，前者是“创造理论”，后者是“解决难题”。我认为，数学的境界可以有如下几个内容：1）大道至简，大美天成 ；2）四美：简洁，和谐，对称，雅致；3）不同分支的交叉和融合；4）数学内部的统一。

数学家哈代认为：数学家的活动与艺术家的活动很多是共同的、相像的。他说：“画家进行色彩与形态的组合，音乐家把音阶组合起来，诗人组词，数学家是把一定类型的概念组合起来”。因此，无论是艺术家还是数学家，他们做的工作都是组合，只是组合对象不同。数学家维纳更认为：“数学是一门精美的艺术”。数学与诗歌有许多共性，下面归纳为八点。

首先，数学和诗歌的源泉都是自然和社会。宋代大诗人陆游告诫儿子说：“汝果欲学诗，功夫在诗外。”这个诗外是诗人对日常生活和大自然细致的观察、体验、感知，这是诗歌创作的源泉。做数学研究也与诗歌创作类似。数学史家克莱因认为：“对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。”丘成桐在一次公众讲演中说过，他的研究工作深受物理学和工程学的影响，这些科学提供了数学很重要的素材。他说：“没有物理上的看法，很难想象单靠几何的架构，就能够获得深入的结果。”

第二，数学和诗歌都追求和谐与简洁。诗歌是所有文艺作品中最追求和谐与简洁的。诗歌是力图通过简洁的语言和韵律，抒发诗人的情怀，表达深邃的哲理。例如，苏轼的诗句“不识庐山真面目, 只缘身在此山中”和刘禹锡的诗句“沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春”虽然简洁，但表达了很深的哲理。数学的和谐是不言而喻的，数学各个分支中公理化体系必须是和谐的。至于数学的简洁，一方面数学结果是通过简明的命题或定理的形式来表述的；另一方面，在研究过程中，数学家追求在较少条件下推出尽可能广泛而深刻的结论，或者力图简化已有结果的证明。

第三，数学中的“对偶”与诗词中的“对仗”是异曲同工。诗词中的“对仗”能使意境更加优美，抒情更加感人，哲理更加深邃。数学中的“对偶”使得数学理论变得更加深刻，更加优美。数学中的“对偶”不只是数学的结构和框架，而且是一种思维方式，也是重要的证明工具和技巧。

第四，数学和诗歌的创作都需要直觉和想象力。当然，任何科学和艺术的创作都需要直觉和想象力，但数学和诗歌更为突出。例如，李白《望庐山瀑布》中诗句“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”就极富直觉和想象。这种直觉和想象是源于诗人的形象思维。数学史家克莱因说：“在预测能被证明的内容时，和构思证明的方法时一样，数学家们利用高度的直觉和想象。”所谓想象力，就是形象思维能力。形象思维能力取决于一个人的文化素质高低。文化素质高的人思路开阔，富于联想，触类旁通，从而形象思维能力就强。德国诗人歌德说：“只有通过艺术，尤其是通过诗，想象力才能得到激活。” 看来想象力更与一个人的艺术修养关系密切。爱因斯坦是小提琴的演奏高手，他曾经坦言：“物理给我的知识，艺术给我想象力，知识是有限的，而艺术所开拓的想象力是无限的。”他有一句名言：“想象力比知识更重要”。

第五，诗歌创作和数学研究都需要激情和灵感。诗人有了激情才能把自己的感悟加深和放大，把内心情感宣泄出来，作品才能打动人和感染人。对数学研究来说，激情来自于探求未知真理的好奇和对美的追求。灵感也叫顿悟，它是一种近乎无意识或潜意识的非逻辑式的创造性思维活动。灵感是对某一问题长期思考以后突然产生的思想火花，有时产生于全神贯注思考问题之际，有时却是在不经意间或意识朦胧之中。灵感有时也来源于对不同现象的类比和联想。例如，英国物理学家史考特·罗素有一天在河边散步，观察到从他身边驶过的小木船卷起一股以单个波峰形式向前传播的激浪，他受此启发，后来提出了著名的“孤立波”理论。

第六，数学研究和诗歌创作都需要有美感。法国数学家庞加莱认为：“美感，对美观与优雅的感觉，在数学的成功中是一个重要的因素。” 他在《数学创造》一文中形象地描述了数学美感在数学创造过程中的作用，他说：“各种数学概念在潜意识里碰撞组合，数学直觉从中筛选有意义的组合，进而进行创造。…… 潜意识做出选择时，所用的标准便是数学的美感，数和形的和谐感，几何学的雅致感。”数学史家克莱因认为：“进行数学创造 的最主要驱动力是对美的追求。”

第七，“创新”是数学和诗歌的共同美学准则（即评价标准）。艺术家把“创新”叫做“艺术风格”。诗人由于生活经历、艺术修养、审美取向以及个性特征的不同，在作品的题材、表现手法、风貌和艺术境界方面形成了独特的艺术风格。例如，李白的诗“豪迈奔放，飘逸若仙”，是浪漫主义风格；杜甫的诗则“深沉蕴蓄，抑扬曲折”，是现实主义风格。对数学研究而言，创新必须是在一定科学范围内有比较重要的意义。

最后，数学和诗歌的另一共同美学准则就是王国维在《人间词话》中所说的“境界为上”。数学的境界还包括学者选题的学术品位和问题的深度，而不在于论文里面用的技巧多高，技巧始终是第二位的。

下面举几个高境界的数学例子。首先是两个美妙的数学公式。一是欧拉公式 ，它把数学里面最基本的几个要素全都整合在一块了，其中1是自然数的单位，0是正负数的分界点，e是自然对数的底，是圆周率，i是虚数单位。第二个欧拉公式 V-E+F=2，公式表明：任何一个简单凸多面体，它的顶点数V减去棱数E，加上面数F必定等于2。这两个欧拉公式堪称“大道至简、大美天成”的数学公式。数论中的两个著名猜想“哥德巴赫猜想”（任何大于2的偶数可以表为两个素数之和）和“孪生数猜想”（存在无穷多对素数其差等于2 ）更是最高境界的数学，尽管它们都还没有得到证明。又如庞加萊猜想，费尔马大定理，四色定理，Atiyah-Singer 指标定理，伽罗瓦群论，黎曼几何，黎曼假设，哥德尔不完备定理，香农信息论，格罗滕迪克的代数几何等都是最高境界的数学。

最后介绍一本高境界的堪称“大美天成”的数学著作《Proofs from The Book》。本书收录了40多个著名数学问题极富创造性和独具匠心的证明。这是一本开阔数学视野和提高数学修养的著作。该书已被译成十多种文字，有中译本，第3版的书名是《数学天书的证明》，我觉得书名中有“天书”二字不妥。我曾向出版社建议把书名改为《数学天成之证》。后来出版社邀我为该书扉页题词，我写下了“天成之证”。

作者注：本文是在作者的“数学如诗”（《科技导报》“卷首语”，2013年31卷上旬刊发表）一文的基础上扩充改写成的。