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学习漫谈(101):抓住要害 模化现实——谈科研方法:9. 建模篇 精选

已有 7890 次阅读 2013-10-26 07:11 |个人分类:寄语学子|系统分类:科研笔记|关键词:学者| 建模, 数学模型, 科研方法

楔子

本文阐述自然科学研究中建模的涵义和方法,论及模型的作用、分类、数学建模要旨和一般过程,并提供若干建模案例。

 

   

一、引言

二、模型的分类

三、数学模型概述

四、案例分析

五、结束语

 

一、引言 

建模是建立科学理论的基础,这是因为:

——很多理论的建立基于假说性机制——模型;

——关于自然的总体模型构成深刻的信念背景;

——总体模型决定科研的基本方向、概念、方法;

——各个领域建立模型引领找到解决问题的途径;

——模型常可超越现有条件,给科研指明方向;

——模型可导致完整的科学理论的建立。

稍有科研经验的学人很容易理解上述各点,实际例子不胜枚举,这里不作赘述。

 

二、模型的分类 

总体来说,科学理论中的模型大致可以分成如下三类:

物理模型:指的是,人们用经验中比较熟悉的、可观察的图像来表示未知对象的整体、结构的一种模型,用直观的素材综合成一幅对象的整体图像。使得理论知识具体化,科学解释的逻辑过程简单化。例如,原子结构模型(汤姆孙布丁模型——卢瑟福行星模型——玻尔液滴模型——壳层模型、集体模型……

理想模型:指的是,把研究对象的本质属性和基本过程以某种极限形式表现出来。既有高度抽象性,又有某种极限状态。例如,理想质点,理想刚体,理想气体,理想黑体,理想流体等等。

数学模型:指的是,针对研究对象的数量特征或数学依赖关系,采用形式化的数学语言近似地表达出来的一种数学结构,具体表现为一组数学关系或一套具体算法。例如,万有引力定律、欧姆定律等等。

本文主要阐述数学模型的构建要领。

 

 三、数学模型概述

 

数学建模的涵义和要旨在于:

数学建模是根据需要针对实际问题构建数学模型的过程,亦即,通过抽象和简化,使用数学语言对实际现象和实际问题进行近似刻画,以便于更深刻地认识所研究的对象。数学模型不是对现实系统的简单的复制和模拟,而是经过对现实现象进行分析、提炼、归纳、升华的结果,是以数学语言来正确地描绘现实对象的基本内在特征,从而通过数学上的演绎推理和分析,运用解析、实验(保持相似律成立)或数值求解。

数学建模的一般过程如下:

首先,基于一系列基本的简化假设,把实际问题中的数学描绘明确地表述出来,也就是说,通过对实际问题的分析、归纳、简化,给出用以描述该问题的数学提法;然后采用数学的理论和方法进行求解,得出结论;最后再返回去阐释所研究的实际问题,总结一般规律,即实现上述“应用数学过程”,在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一座桥梁。

展开来说,数学建模的具体步骤如下:

1.通过调研,掌握实际问题的背景材料。明确研究对象(如物理问题、工程问题)和研究目的,了解相关的数据资料和基本事实(包括已有理论结果、观察结果、观测数据、实验资料等),提出清晰的基本目标,并在实际研究过程中随时准备不断修正预期目标;

2.辨识并列出与问题有关的各主要因素。建立基本假设,简化所研究的问题。明确模型中必须考虑的主要因素,预测、分析它们在问题中的作用,以变量或参数的形式表示这些因素。建模之初通常应最大限度地简化问题,建立最简单的模型,然后不断调整假设,提出修正,使得模型尽可能接近实际;

3.运用物理和数学知识和技巧建立问题中变量之间的关系。通常可以用离散的或连续的数学表达式来描述,例如,比例关系(如:牛顿粘性定律)、线性关系(如:广义牛顿粘性定律、胡克定律等)、非线性关系(如:非牛顿流体的本构关系、物理非线性材料的本构方程)、经验关系(如:反映非光滑管的阻力系数的尼古拉捷规律、水动力学摩阻的Manning公式等)、输入输出原理(如:元胞自动机模型的演进规则)、平衡原理(如:热动平衡规律、捕食者和猎物之间的关系等)、守恒原理(如:能量守恒、质量守恒、动量守恒、KdV守恒律等)、牛顿运动定律、微分方程或差分方程、矩阵关系、概率关系、统计分布等等(变量之间的关系不一定非要用方程来描述,只要能解决问题,可用各种方法确定问题的物理量之间的关系,例如离散映射关系),从而建立问题的数学模型。常见的表述各物理量之间的关系的有:代数方程,映射关系,差分方程,常微分方程,偏微分方程,积分方程,积分-微分方程等等;

4.进行参数辨识或参数标定。使用观测数据或问题的相关背景知识,辨识出问题中的参数的估计值;设计专门实验,标定参数。参数辨识和标定经常采用实测方法和数理统计方法。由于问题的参数辨识较为困难,所以成功的模型应该是简单的,所涉及参数尽可能地少且容易辨识;

5.运用所得的模型,进行分析求解。采用各种有效的数学工具求解所得到的数学方程等,然后,分析、解释模型的结果或把模型运行的结果与实际观测进行比较,开展进一步的案例分析,验证模型的正确性;

6.总结一般规律。对验证成立的数学模型进行总结归纳,尽可能上升到新的理论高度。

 

四、案例分析 

这里提供若干案例,限于篇幅,对各个案例仅作提纲挈领的描述。

 

 案例一、哥尼斯堡七桥问题

问题:哥尼斯堡城有一条河,现在用七座桥来连接河的两岸AB和河中两岛CD,试问:可否一次性不重复地走过这七座桥?

模型:1734年,Euler解决了这个问题。他把问题抽象简化为图论中的一笔划问题:数学上可证明:一笔划的基本要求是各点要有偶数条起迄路径,但是本题四点起迄路径均为奇数条,从而不可实现一笔划。即不能一次性不重复走过这七座桥。


案例二 :流体力学基本方程的导出

常用的流体力学基本方程的导出,充分体现了上述建模思路,最值得注意的是一开始采用的简化假设。

简化假设:

1.      牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形,即不考虑相对论效应和量子效应;若此假设不成立,则由相对论流体力学等理论来应对

2.      连续介质假设成立。每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子,微团紧密地排列着;若此假设不成立,则由稀薄气体力学等理论来应对;

3.      热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡,即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间;若此假设不成立,则由非平衡态流体力学等理论来应对;

4.      热力学第一、第二定律成立(即能量守恒律和熵增定律成立);

5.      亥姆霍兹速度分解定理成立(速度=平动速度+转动速度+变形速度);

6.      广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的线性齐次组合(含广义粘性系数81个)。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴;若此假设不成立,则由非牛顿流体力学等理论来应对;

7.      流体各向同性假设成立。于是,广义粘性系数从81个缩减为2个;若此假设不成立,则由各向异性流体力学等理论来应对;

8.      Stokes假设成立。即假设流体的第二粘性系数(体积粘性系数)为零,不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应;若此假设不成立,只是使得方程形式稍微复杂一点;

9.      运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高,不会产生电离和离解现象;若此假设不成立,则由化学流体力学、磁流体力学等理论来应对;

10.  流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应;若此假设不成立,则由分层流流体力学等理论来应对。

限于篇幅,这里不讲导出的具体步骤,仅指出其中的要点:

    ——上述十个假设的重要性各不相同。其中前五个假设是实质性的,在这些假设下,已可导出“应力型”的流体力学方程;接着的三个假设是非必要的,但从假设6可导出常见的“速度+热力学参数”型的方程,假设78可使方程得到进一步简化;最后两个假设更是可有可无的了。然而,给予上述假设,就产生应用得最为广泛的流体力学基本方程。

——可采用“加减法”进一步使得基本方程“复杂化”或“简单化”,例如,要计及地球旋转效应时,就产生了大气动力学方程,等等;再如,倘若假设外力有势,流体无粘且是正压的,就可导出很简单的伯努利方程,等等。

 

 案例三 兰彻斯特战争模型(日美硫磺岛之战)

问题:根据典型战例,导出一类描写交战双方实力演变的数学模型。日美硫磺岛之战是二战中一个大战役。1945219开始,历时36天,以日军全军覆没告终,希望定量描述双方士兵的伤亡过程,以期用于预测类似战例。

双方兵力对比:守军(日军)21500人(无增援);美军:首批登陆54000人(两次增援:6000人,13000人)

建模思路

1)采用Lanchester线性律,建立线性常微分方程组:

2)利用Morehouse上尉保存的美军减员统计表标定方程中的两个参数;

3)用常见方法解方程,所得的解符合实际。

 

   案例四:交通流的元胞自动机模型

u    自动机:由输入、内部状态、输出三部分构成,按一定规则演化的机制。

u    元胞自动机:分布在点阵上的一个或几个自动机,且系统满足空间群的对称性;数学上来说,它以离散的形式来描述动力学系统的演化过程,为非线性迭代或映射。

u    运用元胞自动机理论的基本步骤:

1)确定点阵;

2)规定状态变量;

3)制定演化规则;

4)数值模拟;

5)结果分析。

实例 :Nagel-Schreckenberg模型

NagelSchreckenberg1992年 提出,由四个更新规则(加速、减速、随机慢化、位置更新)来描述高速公路交通。根据这一简单模型,经过数值模拟,可再现一些复杂的交通现象,如交通阻塞的形成等。

 五、结束语

 

根据上述,可有如下结论:

u    建模是科学研究中的关键步骤;

u    建模必须抓大放小,直击问题实质;

u    数学建模必须有灵活性;

u    建模要领应在反复实践中体会。

 

初稿:2013314,香港

二稿:20131026,上海

 



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