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量子纠缠背后的故事(三十):冯·诺伊曼的证明 精选

已有 4482 次阅读 2021-1-14 08:29 |个人分类:科学历史|系统分类:科普集锦

随着1930年代的开始,泡利、海森堡、狄拉克、约旦相继在进入人生第30个年头,开始告别他们的青春岁月。

牛顿在24岁时发明微积分、动力学和万有引力,创立经典力学的宏伟。爱因斯坦在专利局的奇迹年中连续发表光电效应、布朗运动、狭义相对论时是26岁。玻尔也在27岁时提出原子模型。麦克斯韦完成他的电磁学方程时也不过30岁。物理学——尤其是理论物理——永远属于最富有创新能力的年轻人。

渐次年长的泡利这新一代也已大致完成了新量子力学。他们都有着稳定的学术地位,进入收获季节。

与世纪同龄的泡利在1930年率先进入而立之年。到苏黎士担任教授后,他还是与在慕尼黑、汉堡时一样地花天酒地,每晚在夜总会声色犬马。他退出了从小随父母皈依的天主教会,还娶一位舞女为妻。这个门不当户不对的婚姻不到一年就解体。让泡利愤愤不平的是把老婆拐跑的竟然只是一位“太过一般的化学家”。

雪上加霜,他那也是高级知识分子的母亲因为无法容忍父亲的外遇吞药自杀。他父亲却很快与小情人再婚,更让泡利愤恨不已。在父亲建议下,泡利结识了在苏黎士已经成名的精神分析师荣格(Carl Jung)。他俩随即开始长达26年的亲密交往。

荣格对这位不可多得科学天才的心理案例如获至宝。他们逐渐从为泡利解析梦境、排解心结过渡到对心理学和量子物理——两门20世纪初的新兴学问——之间可能存在的内在联系的共同探讨,最终合作出版一本题为《自然与心理的诠释》的论著。他们常年的来往通信后来也以《原子与原型》(Atom and Archetype)的书名结集出版。其中,泡利细致地记录了自己的1000多个梦,荣格则对其中400多个提供了专业解析。

在这场个人危机中,泡利没有像玻恩那样逃避本职工作。有悖于一向执着于数学严谨的风格,他提出原子核的β衰变中还有另一个粒子在起作用,以保证过程中的能量守恒。这个未知粒子无质量、不带电,因而实验探测不到。泡利提出这么一个无法实际验证的假设后非常尴尬,将之归咎于他正所经历的疯狂岁月,才会公开这样的愚蠢念头。(泡利预测的“中微子”直到26年后才被实验证实【参阅《宇宙膨胀背后的故事(廿四):深藏不露的胆小鬼和猛男》。)

海森堡和狄拉克青春结伴环游世界后,都开启了他们著书立说的教授生涯。

海森堡的动作最快,因为他出版的就是在美国讲学时的讲义。他的书名叫做《量子理论的物理原理》,内容却始终贯穿着他秉承的“哥本哈根精神”。他和玻尔之间原有的分歧早已荡然无存,这本书宣教的完全是玻尔的正统思想。

狄拉克则反其道而行之。他在1930年还只有27岁时就获选英国王家学会院士,成为那个老派学院历史上最年轻的成员之一。他那年出版的是《量子力学原理》。

文如其人,狄拉克的书逻辑严谨、词语简洁,用他自己那套符号语言高屋建瓴地构造出量子力学的数学结构。他的书里没有互补原理。在推导不确定原理之外也不带有“哥本哈根精神”的痕迹——玻尔那套理论依然没有任何数学方程,无法与在他的推理中出现。即使是玻尔的大名也只是在回顾旧量子理论历史时才得以昙花一现。

泡利自然不甘落后。他在1933年发表了一篇内容全面、精细的量子力学综述。那是他几乎独门的拿手好戏。还是在攻读博士学位期间,泡利就因为替导师索末菲撰写相对论的综述而声名大振,赢得包括爱因斯坦的高度赞赏。在量子领域,他也早在1926年就发表过一篇综述,全面阐述了那时的玻尔-索末菲理论。1933年的新综述问世后,他戏称这两本书分别是量子力学的《旧约》和《新约》,分别集旧、新量子理论之大成。

这分别出自而立之年三人的三本量子力学教程风格迥异,各有千秋。在那个年代,狄拉克的数学语言依然超前于时代。他的书还要等一二十年后才显露出真正价值,成为量子力学的经典教材。薛定谔的讲义简单明了,是理想的入门教程。而泡利的综述面面俱到、缜密周详,倒真的成了研习量子理论的“圣经”。

在他们各以自己的风格整合量子力学理论之际,另外一本名为《量子力学的数学基础》的教科书也在1932年横空出世。它的作者只有29岁,是一名数学家。

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即使与量子力学的黄金一代相比,冯·诺依曼(John von Neumann)也是一个不折不扣的神童,甚至有过之而无不及。1903年,他出生于匈牙利首都布达佩斯的一个富足犹太家庭。父亲是当地显赫的银行家,由奥匈帝国的皇帝册封贵族而在姓氏上得以冠上“冯”字名号。

冯·诺伊曼号称在六岁时就能心算两个八位数的除法,八岁时自学掌握微积分。到19岁中学毕业时,他已经发表正式论文,首创集合论的“序数(ordinal number)”概念。

虽然他从小表现出非凡的数学能力,务实的父亲还是坚持他去学化工,以获取有价值的谋生技能。冯·诺伊曼很听话。在22岁大学毕业时,他有了一个化工专业文凭。但同时,他却也已经赢得数学的博士学位。

哥廷根的数学大师希尔伯特参加了他的博士论文答辩。据说希尔伯特在会上忍不住发问:谁是这位候选人的裁缝?与他的数学一样,冯·诺伊曼永远一丝不苟地衣冠楚楚,着装极为考究。

毕业后,他师从希尔伯特真正开始数学生涯。短短三年里,他以几乎每月一篇的速度连续发表了32篇有分量的数学论文,涵盖数学的各个分支领域,很快便暴得大名。这时他再度扩展自己的地盘,插手于最前沿的物理。

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1932年的冯·诺伊曼。

那时他已经受聘为美国普林斯顿大学的教授。他这本出乎意料的《量子力学的数学基础》进一步推广了狄拉克和约旦为量子力学所归纳的数学形式,将整个理论统一为希尔伯特空间中的一个公理体系。按照纯数学逻辑,他从最简单的基本假设出发逐一推导出薛定谔、海森堡、狄拉克、约旦等人的全部结果。

对他来说,最棘手的基本假设是如何处理量子力学中的测量问题,也就是那让爱因斯坦处心积虑的波函数坍缩。

爱因斯坦最早在1927年的第五届索尔维会议上以“泡泡悖论”的形式正式提出这一质疑。无论是他自己的“鬼场”、德布罗意的导航波还是薛定谔的波函数,他们在处理波粒二象性时都会遭遇到同样的麻烦:原来在空间中广为弥漫的波必须在某个时刻、某个地点突然聚集——即坍缩——成为粒子。这个瞬时的过程没有数学、逻辑的描述。

玻尔不以为然。在他的哥本哈根诠释中,量子力学只适用于微观世界。测量却是微观世界与宏观世界“相遇”时表现,因为对微观世界的观测只能通过经典物理描述的宏观仪器——荧光屏、盖革计数器、气泡室等——进行。这种测量的结果给我们以波函数坍缩的错觉。其实,只有测量结果才是真实的。那之前既没有粒子也没有波,也就不存在坍缩的过程。

在索尔维会议上,爱因斯坦曾屡次指责玻尔在“作弊”。为了反驳爱因斯坦的挑战,玻尔不得不一而再再而三地将不确定原理应用于屏幕、光子箱的运动,违背了他自己设定这些宏观仪器不遵从量子规律的前提。玻尔无言以对:他始终无法给出一个区分微观世界和宏观世界的明确界限。

主张量子力学只适用于微观世界却无法同时界定这个适用的范围,这显然在逻辑上是不完备的。为摆脱这个明显的软肋,冯·诺伊曼提出量子力学是普适的。无论是微观还是宏观世界,它们都应该遵从同样的物理定律。

但他也指出,测量的过程必然地包括两个截然分开的部分:测量方和被测量方。作为描述客观世界的理论,量子力学只涉及被测量的对象而不涉及观测者。在测量尚未进行时,被测量的世界依照量子力学或薛定谔方程的描述,连续、确定、平稳地随时间演变,风平浪静波澜不惊。只是当测量发生时,因为来自观察者的干扰,被测量的系统会发生瞬时、不具备因果确定性的突然变化,也就是坍缩。

由此,测量作为一个分离且奇特的物理过程第一次正式出现在量子力学教科书中。尽管冯·诺伊曼背离了哥本哈根的正统思想,玻尔、玻恩、海森堡等人还是为他的另一个大发现喜出望外。冯·诺伊曼在书中宣布,他这个滴水不漏的数学体系可以严格证明量子力学在测量时所呈现的随机性是理论的内在必然,不可能出自某种尚未被发现的隐藏变量。

于是,无论是爱因斯坦的鬼场还是德布罗意的导航波,都被他彻底地宣判了死刑。

多年以后,冯·诺伊曼成为举世公认的数学大家,享有“冯·诺伊曼可以证明任何事情;冯·诺伊曼证明的任何事情都不会错”的盛誉。在1932年,他还没有那样地一言九鼎,却也足够让哥本哈根的人们欢欣鼓舞。无论在论文中还是讨论时,他们只要提一句“冯·诺伊曼已经证明……”,就可以轻松地了结有关隐变量的任何争执。

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1929年春天,泡利和克莱默不约而同写信询问玻尔能否在大学复活节放假时回哥本哈根的“母校”访问。玻尔收信后灵机一动,干脆向曾在他的研究所工作过的20多个年轻人发出邀请,在复活节那个星期同时“返校”,来个热闹的重聚。

这个起意当然获得热烈响应,立即成为波尔研究所的一项年度活动。每年这个星期,玻尔的前弟子们纷纷从欧洲各地赶回哥本哈根朝圣,熙熙攘攘不亦乐乎。与索尔维那个论资排辈的女巫盛宴相反,这里没有资格等级。除了玻尔自己和喜欢凑热闹的埃伦菲斯特都只是一群二三十岁的青年。玻尔还特意要求已经担任教授的人带上一位学生来见世面。

他们更没有豪华的旅馆,只是就近寻找房间。教授和学生不分彼此地搭伙搭铺。这个聚会不安排学术报告,甚至没有日程。玻尔与几个同僚商量,随便抛出几个有意思的话题,便任由在场的人们随心所欲,天马行空。

年轻人更有着年轻人的玩法。在哥廷根发明原子核α衰变理论后,伽莫夫回国途中顺路拜访玻尔。在玻尔的热情挽留和资助下,伽莫夫在那里逗留了一年多,成为哥本哈根青年中的主力成员。天生好事的他在1931年的聚会上冒出鬼点子,组织所里年轻人编排节目在最后一天献演,以热情、幽默的方式欢庆自己的节日并表达对恩师的感激。

1932年是波尔研究所成立10周年,更是喜气洋洋。然而,伽莫夫回苏联后被政府没收护照,无法再躬逢其盛。节目的编排任务于是落到一个刚刚来到研究所的26岁小青年德尔布吕克(Max Delbruck;后来成为分子生物学创始人之一,赢得1969年诺贝尔生理医学奖)的肩头。那年也是德国诗人歌德逝世100周年。作为纪念,他改编了歌德的著名戏剧《浮士德(Faust)》,将其嬗变为量子世界的奇闻轶事为聚会献礼。

歌德剧中代表正义的上帝(Lord)自然是玻尔。他的对立面、魔鬼(Mephisto)正是那经常与玻尔顶撞,又自以为是目空一切言语刻薄的泡利。夹在二者之间患得患失的主角浮士德则成了现实生活中也是菩萨心肠、优柔寡断的埃伦菲斯特。这些角色都由年轻的学生扮演,每人脸上带着画有角色头像的面具,吟诵着既脱胎于原剧又符合物理学家性格经历的诗句。

原剧中的魔鬼曾讲过一个故事:有一个昏庸的国王,宠爱着自己豢养的跳蚤,让他身边的人叫苦不迭(即著名的《跳蚤之歌》)。在德尔布吕克的版本里,这个至高无上的国王便是爱因斯坦,他的跳蚤有个名字,叫“统一场论”。

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在哥本哈根的《浮士德》中,爱因斯坦牵着跳蚤出场。(伽莫夫绘)

海森堡、狄拉克和其他一些熟悉的物理学家都在剧中占据一席之位。就连伽莫夫也在铁窗内露面,抱怨监狱高墙的势垒实在太高。

全剧最后,狄拉克的角色仿照原剧中的诗句警示:“啊!年岁就是发寒热,每个物理学家都深受其苦!当他过了30岁,跟死去已经没有区别!”(“Certainly! Old age is a cold fever / That every physicist suffer with! / When one is past thirty, / He is as good as dead!”)

海森堡的角色接话道,“那最好还是让他们都早点死去。”就连作为魔鬼的泡利这时也不再有话可说,悲伤地落下大幕。

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在那量子力学理论蓬勃发展的20来年里,卢瑟福的卡文迪许实验室一直只是个旁观者,在玻尔离去后不再有显著的建树。也是在1932年,他们终于接连有了重大突破。那年2月,那里的查德维克(James Chadwick)宣布发现中子:原子核中不同于质子的新粒子。中子的发现根本地颠覆了物理学家对原子核的看法,开辟了核物理的新时代。(那年,也不到30岁的伽莫夫在英国出版了《原子核的组成和放射性》——第一本核物理教科书。出版商不得不专门再聘请一位物理学家纠正拼写和语法,因为他的书稿“偶尔会出现一句正确的话”。)

中子随即成为那年哥本哈根会议上反复争论的新话题。在他们的《浮士德》中,查德维克作为浮士德的助手瓦格纳(Wagner)出场。

哥本哈根的《浮士德》落幕仅三个星期后,卡文迪许实验室的考克饶夫(John Cockcroft)和沃尔顿(Ernest Walton)再传捷报。他们利用在伽莫夫帮助下设计制作的加速器将质子加速后轰击锂原子核,成功将其“击碎”,实现原子核的人工嬗变。

随后的那年8月,美国加州理工学院的研究生安德森(Carl Anderson)在他的同学、中国留学生赵忠尧(Chung-Yao Chao)先期实验的启发下,又发现了一种新的粒子。它与电子有着同样的质量,却带有正电荷。这个与电子既相同又相反的粒子是电子的“反粒子”,叫做“正电子(positron)”。

反粒子是狄拉克已经纠结了好几年的奇葩概念。他那个让理论家心旷神怡的狄拉克方程自出生就带有一个致命的缺陷,其中电子会有无穷多个负能量的态。这不仅没有实验证据,即使在逻辑上也无法自圆其说。为了摆脱困境,狄拉克提出那所有的负能级都已经有电子占据,所以不被察觉。只有当这个布满电子的“海洋”中出现空位时才会显现出其存在,那就是一个与电子相对的正电子。

狄拉克的“狡辩”实在过于天方夜谭,从来没有被同行们接受。在哥本哈根聚会的讨论中,就连宽厚的玻尔也失去耐心,诘问“告诉我们,狄拉克,你真的相信这些?”在其后的《浮士德》中,狄拉克的角色则被编排进行自我批评,承认自己理论荒谬,只配被付之一炬。

安德森的发现石破天惊,不仅再次打开一个物理的新天地,也大大地提升了狄拉克的声誉。那年,他在剑桥受聘久负盛名的卢卡斯数学教授席位。他依然不到30岁,只比牛顿1669年上任这个席位时大几个月。

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在那个动荡的年月,原子核也不是唯一被强力分裂的实体。卡文迪许实验室中轰击原子核成功的三个月后,纳粹在1932年7月31日的大选中成为德国议会第一大党。1933年1月30日,希特勒获任德国首相。


(待续)




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