前言：

最近我参加了7月16-28日在北京雁栖湖应用数学研究院举办的首届国际基础科学大会。会议期间，除了数学、物理、计算机领域的中外科学家的学术报告，几乎每天都有一场科学论坛，顶尖科学家在台上侃侃而谈最前沿的科学进展，与台下的中学生和大学生亲切交流。丘先生尽可能为青年学子创造与国际顶尖学者的交流机会，可谓用心良苦。

这让我想起丘成桐教授和刘克峰教授多年前在浙江大学数学中心举办的学术会议和暑期学校。从2002年杭州弦理论国际会议、2004年纪念波莱尔国际会议、以及2004年开始举办的杭州国际暑期学校，丘先生和刘老师邀请了一大批国际顶尖的数学家和物理学家来杭州访问讲学，许多青年学子第一次接触到最前沿的数论、表示论和弦理论课程。浙大数学中心暑期学校的参加者中有许多人现在已经是国内外知名的数学家，包括当时还在读本科的北大数学黄金一代中的好几位代表人物。

在基础科学大会的间隙，我抽空写了这篇纪念尤里-曼宁（Yuri Manin）的文章。曼宁教授也是丘先生的老朋友。2017年，我协助丘成桐教授和刘克峰教授在纯粹与应用数学季刊（PAMQ）为祝贺曼宁80岁生日编辑了3期专刊。

2023年1月7日，尤里-曼宁在德国波恩去世。作为前苏联伟大数学传统承前启后的代表人物和20世纪最伟大的数学家之一，曼宁在数论、代数几何、数学物理等众多领域都做出了杰出的贡献。他曾获得荷兰皇家学会Brouwer奖（1987），美国西北大学Nemmers奖（1994），瑞典皇家科学院Rolf Schock奖（1999），德国数学会康托奖（2002），沙特费萨尔国王奖（2002），德国大十字勋章（2008），匈牙利科学院Bolyai奖（2010）等众多大奖。

四年一届的国际数学家大会（ICM）是数学家的奥运会。能够受邀请在ICM上做报告，是数学界的一项莫大的荣誉。截止到2022年，在ICM一百二十多年的历史上，一共只有4500多人次的数学家作过报告。曼宁曾经五次（1966，1970，1978，1986，1990）受邀在ICM上作报告，包括1978年赫尔辛基ICM的一小时报告。另一位在ICM上做过五次报告的数学家是大名鼎鼎的阿蒂亚（Atiyah）。

曼宁也是一位出色的老师。他指导的50多位博士生中至少有8位国际数学家大会报告人，其中包括著名数学家德林费尔德（Drinfeld），贝林森（Beilinson）。德林费尔德获得过菲尔兹奖、沃尔夫奖、邵逸夫奖。贝林森是沃尔夫奖、邵逸夫奖得主。还有许多数学家，包括康采维奇（Kontsevich）和谢尔加诺娃（Serganova），将曼宁视为他们的授业恩师。曾获得过菲尔兹奖、克劳福特奖、邵逸夫奖的康采维奇是当今最富原创和影响力的数学家之一，他与曼宁一起在现代计数几何（也叫Gromov-Witten理论）做出了奠基性的工作。谢尔加诺娃是2014年首尔ICM一小时报告人，是李超代数表示论领域的顶尖学者。另外，2018年菲尔兹奖得主比尔卡尔（Birkar）的博士导师Shokurov是曼宁的博士生。所以至少有三位菲尔兹奖得主可算是曼宁的门生。

曼宁与太太Xenia（2006，马德里国际数学家大会）

坎坷的身世

曼宁1937年出生在克里米亚首府辛菲罗波尔（Simferopol）的一个知识分子家庭，父母都毕业于克里米亚教育学院。他的父亲学习地理，因成绩优异，毕业后留校担任讲师。他的母亲是语言学和文学专业的高材生。二战爆发是曼宁人生的一次转折点。1942年，曼宁的父亲加入苏联红军，抵抗德国入侵，不幸战死。曼宁跟随家人逃难，往北高加索，穿越里海，一路来到中亚。途中他的外婆和外公相继去世。1945年二战结束，曼宁和母亲返回故乡，发现他们的房子已经被别人霸占，只得寄住在亲戚家中。

曼宁的母亲是犹太人，曾在一家出版社担任编辑， 1948年苏联爆发反犹运动，母亲失去工作，令家庭一度陷入困境。童年的曼宁饱尝艰辛，以至于晚年时他在朋友催促下曾尝试写自传，但是一动笔就勾起童年时的苦涩回忆，让他不得不放弃。好在这个遗憾后来多少得到了一些补偿——作为举世闻名的数学家，曼宁曾受邀访问父母就读的大学，并捐赠了父亲的遗物，分享了自己对父母的回忆和辉煌的数学生涯。曼宁去世后，他的许多生前好友撰写了回忆文章。

古话说，三岁看大，七岁看老。如果说一个人的成功在童年就有迹可循，那么曼宁的过人之处，也许就是他从小就养成了阅读和自学的习惯。他四处借书看，一开始对航空航天和天文学着迷，后来慢慢在数学书里找到了乐趣。12岁时他就接触了格兰维尔（Granville）的微积分教材，其中极限的定义让他颇为不解，也许是因为受不了久违的挫折感，他一怒之下把书埋到了树下。很快，他开始担心下雨，又把书挖了出来，这时他终于确信数学才是他的最爱。15岁时，曼宁读了维诺格拉多夫（Vinogradov）的《数论基础》，兴奋之余，写了一篇关于高维椭球体中整数格点计数的论文，推广了圆内整点计数公式。他的这篇论文被他的数学启蒙老师克莱宁（Kreinin）提交参加全苏数学竞赛，获得了二等奖。许多年后曼宁才知道，曾获得沃尔夫奖的著名数学家皮亚捷茨基-沙皮罗（Piatetski-Shapiro）是当年的评委之一，他很欣赏并大力推荐了曼宁的论文。

青年曼宁

莫斯科大学生涯

1953年，莫斯科大学240米高的主教学楼动工兴建，直到今天它仍然是世界上最高的教学楼。也就是在这一年，一位16岁的年轻人进入莫斯科大学学习，他也注定将改变数学大厦的全貌。这位年轻人正是曼宁。1952年，作为全苏数学竞赛二等奖获得者，曼宁受邀访问莫斯科大学。盖尔方特（Gelfond）教授在和曼宁交谈时，盛赞了他的论文。这位盖尔方特与另一位数学家盖尔范德（Gelfand）的名字很相似，他比后者大七岁，当时两人都在莫斯科大学数学系任教。盖尔方特最著名的工作解决了希尔伯特（Hilbert）第七问题，这是一种构造超越数的简单方法。在此之前，人们知道的超越数只有e和pi。

正是克莱宁、沙皮罗、盖尔方特三位数学家的慧眼识才，让曼宁第一次在数学上收获了成功的喜悦，促使他走上数学研究的道路。五六十年代是莫斯科大学数学系的黄金时代，教员中有盖尔范德、柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）、马尔可夫（Markov）、庞特里亚金（Pontryagin）、沙法列维奇（Shafarevich）等众多大师，曼宁的同学中有阿诺德（Arnold）、基里洛夫（Kirillov）、诺维科夫（Novikov）、西奈（Sinai），这些人日后都成为了各自领域的领袖人物，可谓星光璀璨。

曼宁很快就已经不满足于仅仅学习基础知识，他开始尝试进入前沿的研究领域。他是盖尔方特和沙法列维奇讨论班上的活跃成员，这个讨论班的主题是韦伊（Weil）猜想，这是法国数学家韦伊在1949年提出的关于有限域上代数簇的数论性质的猜想，韦伊自己证明了代数曲线的情形。完整的证明直到1974年由德林（Deligne）在格罗滕迪克（Grothendieck）工作的基础上得到。这是20世纪数学的重大成就之一。德林和格罗滕迪克都获得了菲尔兹奖。

1956年，还在读大三的曼宁就已经在前苏联的顶尖数学杂志Izvestiya上发表了一篇文章。我们知道，定义在有限域上的椭圆曲线包含有限多个点，但是要计算出这些点的数目并不容易。数学大师埃米尔-阿廷（Emil Artin）在1924年的博士论文中最早猜测了有限域椭圆曲线上点的数目的一个上界，直到1933年德国数学家哈塞（Hasse）在三篇系列文章中首先给出证明。曼宁在他发表的第一篇论文中，用巧妙的方法，给出阿廷猜想的一个更加初等和简洁的证明。

从莫斯科大学毕业后，曼宁进入斯捷克洛夫（Steklov）数学研究所继续深造，1960年在沙法列维奇指导下获得博士学位。曼宁同时参加了沙法列维奇领导的数论和代数几何两个讨论班，这对曼宁的数学风格产生了深远的影响。他的工作中处处可见数论与代数几何的完美融合。

有一种广泛流传的说法是，80年代以后，曼宁与导师沙法列维奇因为政见不合而分道扬镳。这也许并不是事实。与沙法列维奇交往多年的芒福德（Mumford）认为，沙法列维奇也许是狂热的爱国者，但绝不是极端的民族主义者。沙法列维奇克服了额外的困难来帮助他的犹太学生戈洛德（Golod）和曼宁。2023年，Izvestiya杂志出版了纪念沙法列维奇100周年诞辰专辑，其中包括曼宁的一篇文章，介绍Shafarevich–Tate群与有理点的存在性。

从博士毕业到1991年，曼宁一直在莫斯科大学任教。他早期的工作领域称为丢番图几何，也就是用代数几何的方法研究多项式的整数解（或者有理数解）。比如著名的费马大定理，就是问费马方程

X^n+Y^n=Z^n

当n大于2时，是否存在使得（X, Y, Z）都是整数的解。

根据莫德尔（Mordell）猜想，亏格大于1的曲线只有有限多个有理点。美国数学家莫德尔在1922年提出的这个猜想是丢番图几何中最重要的问题之一，直到1983年才由德国数学家法尔廷斯（Faltings）证明。法尔廷斯也因为这项工作获得了1986年的菲尔兹奖。

因为费马方程定义的曲线的亏格等于 (n-1)(n-2)/2，所以从莫德尔猜想可知，当n大于3时，费马方程的整数解的数目只有有限多个。1994年，英国数学家怀尔斯（Wiles）证明当n大于2时，费马方程没有非平凡的整数解，彻底解决了这个提出近400年的难题。

1963年，曼宁证明了函数域情形的莫德尔猜想，这项重要的突破，也给研究莫德尔猜想的数学家注入了更多的信心。他的证明中用到一种代数工具，后来被格罗滕迪克命名为高斯-曼宁（Gauss-Manin）联络。由于这项工作，曼宁在1967年被授予列宁奖，这是前苏联颁发给科学家和艺术家的最高奖项。

曼宁与阿诺德（莫斯科，1970年代）

曼宁讨论班

众多高水平的讨论班是莫斯科大学数学系的一大特色，被世界同行效仿。除了盖尔范德在1943 年到 1989年期间领导的著名讨论班，阿诺德、曼宁、诺维科夫也都领导各自的讨论班，对世界数学发展产生了深远的影响。

曼宁的讨论班始于1968年，每周两到三次，形成了自己的风格。即使1993年以后曼宁去了德国马普所（Max Planck Institute）工作，他的讨论班也继续坚持进行。与盖尔范德讨论班类似，曼宁讨论班也涵盖了广泛的研究领域。但是两者的不同之处在于，盖尔范德讨论班不限定主题，各主题并行式进行，而曼宁讨论班在不同的时间段聚焦不同的主题，各主题循序进行，而这往往与曼宁当前的研究课题有关。

曼宁的研究领域跳跃性很强，有一个故事可以佐证。曾经有一个参加曼宁讨论班的学生，放完暑假回校，向曼宁请教，“上个学期我从你的数论讨论班受到启发，得到一些新的结果。”曼宁回答，“可是三个月前我已经转去研究逻辑学了。”然后曼宁还是耐心听完了学生向他解释的新结果，并把逻辑学在数论里的用处向学生介绍了一番。

在指导学生方面，曼宁不限定他们的研究课题，给予充分的自由。曼宁毫不吝惜在讨论班上分享他的真知灼见，听众之间也自由地分享各自的想法。有一次，艾森巴德（Eisenbud）在马普所遇到曼宁，问了一个问题，“伯恩斯坦-盖尔范德-盖尔范德（BGG）对应与射影空间对角线的贝林森消解之间似乎有联系。”曼宁立刻来了兴致，向艾森巴德解释起来，最后他总结道，“这些我在讨论班上也讲过，当时贝林森和盖尔范德都在听众里。”

魏因特罗布（Vaintrob）和西奈（沃尔夫奖和阿贝尔奖获得者）合作研究遍历论中的一个问题，西奈让魏因特罗布去问问曼宁，这个领域还有什么其它问题可以做。曼宁告诉他，不要急功近利直接从问题入手，而是应该从学习一个有趣的领域开始，然后再逐步考虑要研究的问题。魏因特罗布很赞同曼宁的观点，后来成为了曼宁的博士生。这种看待数学的方式大概也造就了曼宁独一无二的高屋建瓴的研究风格。

2023年2月21日，在曼宁去世一个半月后，马普所隆重举办了最后一次曼宁讨论班，向它的创造者致敬。曼宁的学生卡普拉诺夫（Kapranov）首先介绍了曼宁讨论班在莫斯科大学20年中的举办情况。接着曼宁在马普所的同事扎盖尔（Zagier）做了一个有关模形式的报告，这是曼宁做出最重要贡献的数学领域之一。最后，曼宁的合作者马可利（Marcolli）介绍了她与曼宁合作的球堆积问题算法方面的工作，这也是曼宁生前完成的最后一项工作。

遍布世界各地的曼宁的学生们一定会把曼宁的讨论班继续进行下去，就像曼宁当年指导他们一样，培养出更多新一代杰出数学家。

数学成就

曼宁发表了13本专著和近300篇论文。他的名字出现在许多数学的重要概念、定理和猜想中。除了前面提到的高斯-曼宁联络，还有Manin-Drinfeld定理，Manin-Mumford猜想，Manin-Brauer阻碍，Dieudonne-Manin分类定理，Kontsevich-Manin公理，Batyrev-Manin猜想，Manin矩阵，Manin常数……

如果说19世纪以前的数学家为数学大厦打好了地基，那么20世纪以来的数学家所做的工作就像在添砖加瓦。有那么一批杰出的数学家，以前瞻的视野和过人的胆魄，在看似不同的数学领域之间建立联系，让不同领域的学者之间有了可以交流的共同语言。我们可以把他们称为数学大厦的架构师。曼宁毫无疑问就是其中一位。他是那种为数不多的精通物理的数学家，巧妙地在数学和物理大厦之间构筑起一座座廊桥。从量子场论、可积系统、规范理论，到弦理论，曼宁一直致力于为物理、特别是量子场论找到严格的数学语言。他最后30年的数学生涯在马普所度过，而马克斯-普朗克引入光子的概念解释黑体辐射，成为量子力学的奠基人，让人不禁感叹命运的神奇。

关于曼宁在数论和代数几何方面的工作，已经有几位数学家写了综述。最近，丘成桐教授、刘克峰教授和我写了一篇关于曼宁在数学物理方面工作的综述。所以这里只简单列举几项曼宁的重要工作。

1967年曼宁访问巴黎高等研究院（IHES），参加格罗滕迪克的讨论班，并与格罗滕迪克有很多的讨论。受此影响，曼宁在1968年发表了一篇有关motive的文章，被格罗滕迪克称赞是“一篇优雅的奠基性论文”。曼宁还在IHES得到一份法诺（Fano）新近研究吕洛特（Luroth）问题的文章。受法诺工作的启发，曼宁回国后不久，便与伊斯科夫斯基（Iskovskih）证明存在非有理但是单有理的3维代数簇，从而给出了吕洛特问题的第一个反例。

由于政治原因，此后整整二十年，曼宁被禁止出国访问。1979年，芒福德访问莫斯科。他看到在曼宁的书桌下，堆放着厚厚一沓信封，都是国外学者发来的邀请信，但是曼宁却无法成行。在几乎完全孤立的环境下，曼宁依然取得了许多重要的数学成果。直到1989年，曼宁的旅行禁令解除，他再次来到巴黎，与法国数学领袖塞尔（Serre）促膝长谈。1991年，曼宁访问哥伦比亚大学，接着在麻省理工学院任教一年后，1993年出任德国马普所所长，直到退休。

塞尔与曼宁（1989，巴黎）

曼宁与贝林森证明玻色弦理论中配分函数的计算公式，使得它的精确计算成为可能。

曼宁与佐格拉夫（Zograf）证明韦伊-皮特森（Weil-Petersson）体积的渐近展开公式，这是这方面的第一个精确结果。

曼宁与阿蒂亚，德林费尔德，辛格用代数几何方法构造4维球面上的所有瞬子（instanton）。这就是著名的ADHM构造。

独立于物理学家费曼（Feynman），曼宁是最早提出基于叠加态和量子纠缠的量子计算机概念的学者之一，影响了包括基塔耶夫（Kitaev）在内的许多量子计算大佬。基塔耶夫因提出拓扑量子计算的数学模型而获得2012年基础物理突破奖（奖金300万美元）。拓扑量子计算用到的数学工具称为张量范畴，是近来非常热门的研究领域。

曼宁与克姆贝（Combe）、马可利合作研究信息几何，这是一门几何、统计与信息理论的交叉学科。近年来，有许多学者应用量子信息理论研究时空几何，对量子引力、量子纠缠、全息原理有了更深入的理解。威滕（Witten）认为这是物理学界近年来最激动人心的进展，令他回想起80年代弦理论兴起的前夜。人们开始逐步接受，信息是宇宙最基本的构成，而不是之前所认为的物质或者能量。后两者都只是信息在现实世界中的表现。

曼宁还有一些堪称超越时代的工作，也许它们的用处要许多年以后才会被人们真正理解。曼宁说过，数学的终极问题是——什么是空间。他曾经构造过一种空间，称为Three-space-2000，这种空间具有三种维数，内含卡-丘（Calabi-Yau）度量，希望可以描述我们的宇宙，或者统一处理一些数论与几何（数形合一）的问题。曼宁与马可利提出用代数几何中的爆破（blowup）变换来建模宇宙大爆炸。他们还发现，双曲几何与阿拉克洛夫（Araklov）几何的关系类似于AdS/CFT对应，后者是当前高能物理最热门的研究课题。

结语

曼宁从小就展现出过人的数学天赋，特别体现在他的自主学习和专注度。他的数学生涯早期得益于伯乐的帮助，莫斯科大学的讨论班开阔了他的数学视野。曼宁成长于前苏联数学的鼎盛时期，他继承了苏联数学的光荣传统，培养了众多杰出的数学家。

看完这位伟大数学家的故事，也许中小学家长都可以考虑在家里放上几本微积分、高等代数、初等数论之类的书，带孩子听听数学家和物理学家的公众报告，如果孩子自己感兴趣读进去了，或许他就是下一个改变数学历史的天才。即使以后不研究数学，也不算浪费时间，无论大学选择什么专业，这些数学都是有用的。

丘先生在十多年前创办的中学数学奖（提交论文参赛），大学生数学竞赛（类似研究生资格考试，不追求技巧），正是为了发掘优秀数学人才，尽早加以培养。中学数学奖给了那些有数学天赋的中学生们一个不同于奥数的，也许是更好的施展才华的舞台。

笔者与曼宁教授有过几次电子邮件的交流，向他请教关于曲线模空间和信息几何的问题。他每次的回复都很友善，完全没有大数学家的架子。我印象中另一位如此友善的大佬是威滕。

除了数学，曼宁对哲学、语言学、文学、心理学也有深厚的兴趣和造诣。曼宁一生都在研究的代数簇，英文是variety，它的意大利语起源于文艺复兴时代，有多才多艺的意思。这个词正好可以用来评价曼宁的一生。

最后引用康采维奇在追思曼宁的文章里的一段话：

对我而言，曼宁是永远的英雄，一位真正的数学全才。他不仅仅发现新结果、新理论、新概念，而且化身数学骑士，捍卫我们学科的荣耀。

参考文献

[1] K. Liu, H. Xu, S.-T. Yau, The work of Yuri Manin in mathematical physics, 2023

   https://pan.baidu.com/s/1Jeq58VXi2RV9eBHSZqM4TA?pwd=fqpp

[2] A. Nemethi, Yuri Ivanovich Manin, 2011.

[3] A. Skorobogatov, Yuri Manin, 2023.

[4] Xenia et. al. Yuri Ivanovich Manin, 1937-2023.