稳定性是控制理论的基础，在系统控制、参数辨识、状态估计、滤波器设计等问题中起着关键性作用。时滞反映的是系统的过去历史信息对当前的状态或控制作用的影响，或者是由于控制、执行、检测和信号传输等环节由于软件计算或硬件物理原因产生的时滞。时滞的存在具有两面性，一则是被动抑制时滞现象，消除时滞的影响，二则是主动引入时滞现象，利用时滞的作用。不论哪种情况，时滞的存在对系统的稳定性分析都带来困难，进而关于时滞系统的稳定性研究一直是控制理论领域长期关注的课题。

   由于状态空间方程易于描述多变量动力系统，且对系统内部信息的探究具有优势，进而基于状态空间方程描述的时滞动力系统的稳定性问题得到了学者的广泛研究。李雅普诺夫稳定性理论是研究时滞系统稳定性最为通用的工具之一，利用时滞系统本身的信息来构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函（LKF），进而得到相应的稳定判据。构造不同的LKF会得到不同的稳定判据，进而如何降低稳定判据的保守性（如针对时滞系统，如何计算出最大的时滞上界或者解析解）成为理论界近二十多年来的主要研究内容之一。关于时滞系统的稳定性研究，通常有三个关键环节：如何构造适宜的LKF、如何处理时滞信息、如何将有效的不等式技术引入到LKF泛函的求导计算中，如下图所示。

   在时滞处理方面，各种方法不断涌现，已经从点时滞拓展到区间时滞，从均匀划分拓展到非均匀划分方法，从固定区间拓展到柔性区间。在不等式技术方面，已经从标量的均值不等式拓展到矢量的均值不等式，从矢量的內积不等式拓展到单重积分的內积不等式，再拓展到二重积分、三重积分不等式等（诸如Moon不等式、Jensen不等式、Wirtinger不等式及其变形等）。

   一般来讲，不等式技术的使用形式与构造的LKF形式紧密相关。在LKF构造方面，基本上是以系统状态的二次型以及与时滞信息相关的单重、二重或三重积分构成。既然时滞区间可以划分成若干子区间能够打到降低稳定结果保守性的目的，那么增加LKF的积分重数，是否也能够实现稳定判据保守性的降低？基于这一认识，本文作者展开了具有多重积分的LKF的时滞系统的稳定性探究。国际上，随着数学领域和控制理论领域的专家和学者在这方面工作的深入研究，在多重积分不等式方面取得了一系列进展，分别提出了Jensen多重积分不等式、Wirtinger多重积分不等式以及Bessel-Legendre 不等式等，并建立了一些稳定结果。然而，如何对含有多重积分项的LKF的导数上界进行更为准确的估计，进而建立有效的稳定判据仍旧是个理论难题。

   王占山教授等构造了一种含有多重积分项的LKF泛函，并结合多重积分不等式技术，研究了一类线性时滞系统的稳定性问题。首先利用已有的修正的Jensen单重积分不等式推导出了修正的Jensen多重积分不等式(RJMII)。不等式RJMII优于甚至包含某些已存在的不等式，如现有文献中的Jensen多重积分不等式和Wirtinger多重积分不等式。然后采用提出的RJMII对一类含有多重积分项的LKF泛函的导数进行有效估计，并基于李雅普诺夫稳定理论针对一类线性定常时滞系统建立了几个时滞依赖稳定判据。数值仿真表明，针对一类线性时滞系统，LKF中的积分重数增加到一定程度时，所得的稳定判据能够逼近时滞的解析解，进而验证了所建立的时滞依赖稳定判据的有效性。同时，通过仿真也说明，具有多项式级数逼近性质的LMI稳定判据可以无限逼近稳定判据的充要条件。稳定性作为控制系统设计的基础，本文所提出的分析方法将对时滞系统高性能控制器的设计提供有效的理论参考作用。

J. D. Wang, Z. S. Wang, S. B. Ding, and H. G. Zhang, “Refined Jensen-based multiple integral inequality and its application to stability of time-delay systems,” IEEE/CAA J. of Autom. Sinica, vol. 5, no. 3, pp. 758-764, May 2018.

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