第四章：欧几里得和阿波罗尼斯。本篇记录此章的第4、5节。

4、《原本》的第一篇到第四篇

“第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质。第一篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线、毕达哥拉斯定理、初等作图法、等价形（有等面积的图形）和平行四边形。所有图形都是直边的，就是说，都是由直线段组成的。”

“命题1、在给定直线上作一等边三角形。”

“命题2、过一已知点（作为一个端点）作一直线（段）使之等于一已给直线（段）。”

“命题4、若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等。”

“命题5、等腰三角形两底角相等。”

“命题16、三角形一角的外角大于其他两角中的任一角。”

“命题20、任何三角形的两边之和必大于第三边。”

“命题27、若一直线与两直线相交并使内错角相等，则该两直线平行。”

“命题29、一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同旁内角之和等于两直角。”在这里第一次用到平行线公设。按：由此可见，前28个命题在非欧几何中也成立。

“命题44、在给定直线上作一平行四边形，使其一角等于已知角，而其面积等于已知三角形。”这是包括在面积应用理论下的第一个问题。

“命题47、直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和。”按：这就是勾股定理。你现在能用平面几何的方法证明吗？

“命题48、若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。”按：勾股定理的逆定理。

“第二篇中的突出内容是对于几何代数法的贡献。……两数的乘积变成两边长等于两数的矩形的面积。三数的乘积是一体积。两数相加被他们翻译成把一线段延长到使所增长的部分等于另一线段。减法被说成是从一线段割去另一线段之长。两数相除则仅用两线之比一语来表明，这是同其后在第五、第六篇里所引入的原则一致的。”按：为了避免无理数想出这么多招数，真是够拼的。但如何处理四数相乘？如何处理负数？如何处理超越数？欧多克索斯和欧几里得哭了……

“第二篇中的头十个命题从几何上处理了下述等价代数问题。其中有些用我们的记法是：(1) a(b + c + d + …) = ab + ac + ad + …; (2) (a+b)a + (a+b)b = (a+b)^2; (3) (a+b)a = ab + a^2;(4) (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2; (5) ab + [(a+b)/2 - b]^2 = [(a+b)/2]^2; (6)(2a+b)b + a^2 = (a+b)^2.”

“命题11、分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩形等于另一分段上的正方形。”即用几何方法解二次方程(a-x)a = x^2，或x^2 + ax = a^2。第二篇中的其他命题相当于解二次方程ax - x^2 = b^2及ax + x^2 = b^2。

“命题14、作一正方形等于已知的直边形。”所给直边形可以是任何多边形。对于矩形，这定理解出了x^2 = ab或者说求出了ab的平方根。

“第三篇含37个命题。它开头给出有关圆的一些几何定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等。”

“命题16、通过圆直径一端垂直于直径的直线全在圆外，且在这直线和圆周之间的空间内不能再插入另一直线；半圆和直径夹角大于而半圆和垂线夹角小于直线间的任何锐角。”按：圆的切线。切线与圆之间不能再放进任何其它直线是一件出人意料的事，我一直记得这种惊讶！

希腊人把圆弧与切线之间的夹角叫做牛头角，对它是否有确定的大小一事当时是有争议的。“命题16说这角比直线间的任何锐角小，但没有说这个角的值是零。”牛头角之所以使后代欧几里得著作评注者特别感到头疼的地方是，可以作过切点且与直线相切的一些直径愈来愈小的圆，并从直觉上似乎感到这牛头角显然会随之增大，而根据上述命题却并不如此。“从另一方面说，如果任何两个牛头角的值都是零从而都相等，它们就应能重合。但它们却不能重合。因此有些评注家下结论说牛头角不是角。”根据一般对曲线夹角的定义，牛头角的值是零。按：这说明现代数学里对曲线夹角，已经放弃了相等就能重合的直觉。

“第四篇在它的16个命题里论述圆的内接和外切图形，如三角形、正方形、正五边形和正六边形。最后的命题讲怎样在一给定圆内作正15边形。”

5、第五篇：比例论

“根据欧多克索斯的工作而写的这第五篇，被人认为是欧几里得几何的最大成就；同《原本》任何其他部分相比，它的内容被人讨论得最多，它的意义被人争论得最激烈。”按：从更大的图景看，我觉得第一篇才是欧几里得几何的最大成就，即建立公理体系。这种思维方式是独一无二的，开启了以后所有进步之门，包括欧多克索斯的比例理论。

欧几里得开头是这样写的：“定义1、当一较小的量能够量尽较大的量时，它是较大量的部分。”例如2能量尽6，而4不能量尽6。

“定义2、当较大量能被较小者量尽时，它是较小者的倍量。”指整数倍量。

“定义3、比是同类量在大小方面的一种关系。”这第三个定义的意义很难同下一定义分开来讲。

“定义4、若能把两量中任一量倍增后超过另一量，便说此两量有一个比。”这个定义排除了无穷小量和无穷大量。下一个定义是关键性的定义。

“定义5、四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比。我们说这两个比是相同的，如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的[另一个]倍数后，从头两个量的倍数之间的小于、等于或大于的关系，便有后两个量的倍数之间的相应关系。”定义说的是，如果a及c都乘以任一整数m，b及d都乘以任一整数n后，对于所有这样选取的m及n，都能从ma < nb推知mc < nd，从ma = nb推知mc = nd，从ma > nb推知mc > nd，那么我们有a /b = c /d。按：这个定义事实上给出了用两个整数之比n /m即有理数无限逼近任一比例的方法。

“定义6、有相同比的量称为成比例的量。”

“定义7、四个量的第一个量和第三个量取相同倍数，其第二个量和第四个量又取另一相同的倍数时，若第一个倍数量大于第二个倍数量而第三个倍数量却并不大于第四个倍数量，则说第一量与第二量之比大于第三量与第四量之比。”定义说的是，只要有一个m和一个n，能使ma > nb而mc却并不大于nd，则a /b > c /d。按：这个定义说明所有的比之间必然可以排序，不可能出现一个既不等于、也不大于、也不小于另一个的情况。用现代的术语说，所有比的集合是一个全序集。

“定义8、一个比例至少要有三项。”在只有三项的情形下是a /b = b /c。

“定义9、当三个量成比例时，我们说第一量与第三量之比是第一量与第二量的二次比。”意思是若A /B = B /C，则A /C = A^2 /B^2。

“定义10、当四个量成连比例时，我们说第一量与第四量之比是第一量与第二量的三次比，其余不管有几个量的连比都依次类推。”若A /B = B /C = C /D，则A /D = A^3 /B^3。

“定义11到18规定相应的一些量：更比、逆比、合比、分比、换比等。这些指的是从a /b形成的(a+b) /b，(a-b) /b以及其他的比。”

“第五篇接着就证明关于量和量之比的25个定理。……公设没有用到。”按：可见欧几里得很清楚这部分完全属于代数，跟几何无关。

下面我们用近世的代数语言来叙述其中一些命题，用m，n和p表整数，用a，b和c表量。

“命题1、任意多个量，分别是同样多个量的相同倍数，那么不管那些个别量的倍数是多少，它们总的也有那么多倍数。”就是ma + mb + mc + … = m(a + b + c + …)。

“命题4、若a /b = c /d，则ma /nb = mc /nd。”

“命题11、若a /b = c /d，而c /d = e /f，则a /b = e /f。”注意，比的相等是依据比例定义而来的，所以欧几里得要细心证明相等的关系是可传递的。

“命题12、若a /b = c /d = e /f，则a /b = (a + c + e) /(b + d + f)。”

“命题17、若a /b = c /d，则(a - b) /b = (c -d) /d。”

“命题18、若a /b = c /d，则(a + b) /b = (c +d) /d。”

后代数学家对欧几里得关于量的理论的理解是这只能用于几何，从而觉得只有几何才是严格的。“所以当文艺复兴时代和其后几个世纪里重又用起无理数来的时候，许多数学家就反对，因为这些数没有逻辑根据。”按：中国数学家对无理数有过什么态度？我估计他们根本没有反对，欣然就接受了。

欧几里得并没有提出一个无理数理论。量本身不能看作无理数，两量之比也不能看作无理数。他甚至没有说明a /b + c /d的意义。“因此，1800年以前数学史实际上所走的道路——完全依据几何来严格处理连续量，就成为不可避免的事。”