双十一其实是一个数学问题。本文将用中学数学的知识，讨论“双十一单身节”的由来，“双十一”260年的研究历程，以及“双十一购物节”的未来。

一、“双十一单身节”的由来

我们来看下面这两组数：

{ 1, 12, 25, 66, 91, 130, 174, 213,238, 279, 292, 303 }

和 { 4, 6, 31, 58, 105,117, 187, 199, 246, 273, 298, 300 }

这两组数，每组各12个自然数，最小是1，最大是303。这两组数有什么特征呢？

首先我们来验算一下，这两组数的和是相等的，即：

1 + 12 + 25 + 66 + 91 + 130 + 174+ 213 + 238 + 279 + 292 + 303 = 1824

4 + 6 + 31 + 58 + 105 + 117 + 187+ 199 + 246 + 273 + 298 + 300 = 1824

这两组数的平方和也是相等的：

1² + 12² + 25² + 66² + 91² + 130² + 174² + 213² + 238² + 279² + 292² + 303² = 417510

4² + 6² + 31² + 58² + 105² + 117² + 187² + 199² + 246² + 273² + 298 ² + 300² = 417510

三次方的和也是相等的：

1³+ 12³+ 25³+ 66³+ 91³+ 130³+ 174³+ 213³+ 238³+ 279³+ 292³+ 303³ = 106101168

4³ +6³+ 31³+ 58³+ 105³+ 117³+ 187³+ 199³+ 246³+ 273³+ 298 ³+ 300³ = 106101168

再验算下去，会发现，四次方之和、五次方之和、……、一直至十一次方之和都是相等的！

       四次方之和 = 28315159590

       五次方之和 = 7773490036944

       六次方之和 = 2173728482311830

       七次方之和 = 615728308325025648

       八次方之和 = 176070952648146108870

       九次方之和 = 50712932301367249852944

       十次方之和 = 14689149765138361036370550

       十一次方之和 = 4273921096844905915751230128

这种奇妙的恒等关系，用数学的式子来概括，就是：

1^k+ 12^k + 25^k + 66^k + 91^k + 130^k+ 174^k + 213^k + 238^k + 279^k + 292^k+ 303^k

= 4^k+ 6^k + 31^k + 58^k + 105^k + 117^k+ 187^k + 199^k + 246^k + 273^k + 298^k+ 300^k

( k= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 )

在数论中，会用更简洁的方式来表述这两组1至11次方之和均相等的“双十一”数组：

[ 1, 12, 25, 66, 91, 130, 174, 213,238, 279, 292, 303 ] ₁₁

= [ 4, 6, 31, 58, 105, 117, 187,199, 246, 273, 298, 300 ] ₁₁

“双十一”数组的神奇事情不止于此。

若我们把上述“双十一”数组的每个数字，都乘上同一个数，其“双十一”的恒等关系依然成立，例如乘上2后，就变成：

[ 2, 24, 50, 132, 182, 260, 348, 426,476, 558, 584, 606 ] ₁₁

= [ 8, 12, 62, 116, 210, 234, 374,398, 492, 546, 596, 600 ] ₁₁

这一点是很简单证明也是容易理解的，例如由大家熟知的勾股数组3²+ 4²= 5²很容易得知每个数乘2后，依然成立：6²+ 8²=10²

但是，“双十一”数组独有的一个奇妙性质就是：每个数字，都加上同一个数，其“双十一”的恒等关系依然成立！例如加上1后，就变成：

[ 2, 13, 26, 67, 92, 131, 175, 214,239, 280, 293, 304 ] ₁₁

= [ 5, 7, 32, 59, 106, 118, 188, 200,247, 274, 299, 301 ] ₁₁

再加2，加3，……，“双十一”的恒等关系依然成立：

[ 3, 14, 27, 68, 93, 132, 176, 215,240, 281, 294, 305 ] ₁₁

= [ 6, 8, 33, 60, 107, 119, 189, 201,248, 275, 300, 302 ] ₁₁

[ 4, 15, 28, 69, 94, 133, 177, 216,241, 282, 295, 306 ] ₁₁

= [ 7, 9, 34, 61, 108, 120, 190, 202,249, 276, 301, 303 ] ₁₁

这个特性利用中学的二项式定理就可以证明，可见“双十一”的恒等关系，可以历遍所有的整数。这种奇妙关系，是“双十一”类型的数组所特有的，勾股数组就没有这个关系，例如由3²+ 4²= 5²不能得到4²+ 5²等于 6²。

“双十一”数组还有很多很多神奇的特征，因为涉及稍复杂的数学表达，这里就暂时不多叙述了，仅再说一个和“双十一单身节”有关的特征。

在我们前面介绍的“双十一”数组中：

[ 1, 12, 25, 66, 91, 130, 174, 213,238, 279, 292, 303 ] ₁₁

= [ 4, 6, 31, 58, 105, 117, 187,199, 246, 273, 298, 300 ] ₁₁

若我们仔细观察一下，就会发现，每一组内的数也是配对出现的：

1 + 303= 12 + 292 = 25 + 279 = 66 + 238 = 91 + 213 = 130 + 174

= 4 +300 = 6 + 298 = 31 + 273 = 58 + 246 = 105 + 199 = 117 + 187

这就是“双十一单身节”的来由！在“双十一”数组里，每个单身的自然数，都可以找到和自己配对的另外一个单身的自然数，组成美满互补的一对！例如上面的单身1和单身303，单身12和单身292，……，单身117和单身187，两两结对后，在“双十一数组”这个大家庭里，维系着一种1至11次方之和恒等和谐的稳定关系。

那么不在上面这一组的数字，例如单身2和单身3，是否就永远不能脱单呢？无需担忧，因为“双十一数组”是个庞大的家族。在我们前述的加1特性中，不能发现单身2是在以下的“双十一数组”中和单身304配对的：

[ 2, 13, 26, 67, 92, 131, 175, 214,239, 280, 293, 304 ] ₁₁

= [ 5, 7, 32, 59, 106, 118, 188, 200,247, 274, 299, 301 ] ₁₁

而单身身3则是在以下的另外一组“双十一数组”中和单身305配对的：

[ 3, 14, 27, 68, 93, 132, 176, 215,240, 281, 294, 305 ] ₁₁

= [ 6, 8, 33, 60, 107, 119, 189, 201,248, 275, 300, 302 ] ₁₁

所以，全世界人民选择11月11日“双十一”作为单身节，是有科学依据的：“双十一”的数学理论证明，“双十一”中一定可以找到配对，“双十一”中一定可以脱单！

二、“双十一”的研究历程

为找到“双十一”这一重要的日子，全世界的数学家们已经研究了260多年。

“双十一数组”，其实属于数学中“等幂和问题”的一种情形。等幂和问题是数论中的一个著名的经典问题，勾股定理、费马大定理和欧拉猜想等，都可以归结为等幂和问题的某一种特例。为了叙述简单，在本文中，我们着重介绍等幂和问题中最美妙神奇最引人入迷的PTE等幂和问题（Prouhet-Tarry-Escott问题）。

用文字来表述，PTE等幂和问题就是：寻求两组不同的整数，使这两组整数的1至n次方之和都相等。例如以下两“双六”数组，其1至6次方之和均相等：

1¹ +19¹ + 20¹ + 51¹ + 57¹ + 80¹+ 82¹ = 2¹ + 12¹ + 31¹ + 40¹+ 69¹ + 71¹ + 85¹

1² +19² + 20² + 51² + 57² + 80²+ 82² = 2² + 12² + 31² + 40²+ 69² + 71² + 85²

1³ +19³ + 20³ + 51³ + 57³ + 80³+ 82³ = 2³ + 12³ + 31³ + 40³+ 69³ + 71³ + 85³

1⁴ +19⁴ + 20⁴ + 51⁴ + 57⁴ + 80⁴+ 82⁴ = 2⁴ + 12⁴ + 31⁴ + 40⁴+ 69⁴ + 71⁴ + 85⁴

1⁵ +19⁵ + 20⁵ + 51⁵ + 57⁵ + 80⁵+ 82⁵ = 2⁵ + 12⁵ + 31⁵ + 40⁵+ 69⁵ + 71⁵ + 85⁵

1⁶ +19⁶ + 20⁶ + 51⁶ + 57⁶ + 80⁶+ 82⁶ = 2⁶ + 12⁶ + 31⁶ + 40⁶+ 69⁶ + 71⁶ + 85⁶

可见，前面我们介绍的“双十一”数组，正是PTE等幂和问题的一种情形。

数学上可以证明，对于n次方的PTE等幂和问题，当两组整数的个数不超过n个时，是没有解的。因此，当每组整数的个数为n+1时，每组整数的数目达到最小，此时称为理想解。例如上面介绍的11次方等幂和“双十一”数组中，每组数各有12个（12=11+1），同样6次方等幂和“双六”数组中，每组数各有7个（7=8+1）。

PTE等幂和问题作为等幂和问题的最经典情形，其研究最早可追溯至1750-1751年，数学家欧拉和哥德巴赫注意到2次方的情形；1851年Prouhet证明只要数组足够大，任意n次方都有整数解；1910年代Tarry和Escott等找到了7次方以下的部分解法；因此这个问题以他们三人的名字命名。例如以下1至7次方之和均相等的7次方理想解，是Tarry于1913年发现的，最大整数只有50：

[ 0, 4, 9, 23, 27, 41, 46, 50 ] ₇= [ 1, 2, 11, 20, 30, 39 , 48, 49 ] ₇

1940年代德国人Letac在没有电子计算机的情况下找到了8次方的两组理想解和9次方的一组理想解，其中9次方的那组“双九数组”的解（1至9次方之和均等），最大的整数是47500：

[ 0, 3083, 3301, 11893, 23314,24186, 35607, 44199, 44417, 47500 ] ₉

= [ 12, 2865, 3519, 11869, 23738,23762, 35631, 43981, 44635, 47488 ] ₉

华罗庚自1937-1938年在英国剑桥开始研究PTE等幂和问题直至1950年代，他用初等数论和解析数论的方法，对解的存在范围给出了比Prouhet大大优化的结果，详细请见华罗庚的著作《堆垒素数论》和《数论导引》；其后陈景润于1956年发表《塔内问题》一文（塔内即Tarry），对华罗庚《堆垒素数论》的结果给出改进，因而被华罗庚重视，次年调入中科院数学所。

1940年代Letac找到9次方的理想解之后的50多年中，在更高次方的求解上，国际上没任何进展，也就是说，“双十”、“双十一”、“双十二”……的数组始终未有被人类找到。

直至1999年9月，我无意看到欧洲人Nuutti Kuosa研究另外一个问题的结果：

151¹⁰+140¹⁰+127¹⁰+86¹⁰+61¹⁰+22¹⁰=148¹⁰+146¹⁰+121¹⁰+94¹⁰+47¹⁰+35¹⁰

在此基础上，我在全世界范围内首次找到了11次方的一组数值解：

[ 0, 11, 24, 65, 90, 129, 173,212, 237, 278, 291, 302 ] ₁₁

= [ 3, 5, 30, 57, 104, 116, 186,198, 245, 272, 297, 299 ] ₁₁

这两组整数，左右各12个，左右两边1次至11次方之和均相等，最大整数仅为302。（数组中每个数字加1就是本文开头“双十一”数组的例子）

这是等幂和问题的一次重大突破，当年的《美国数学月刊》专门给予了报道。这一结果也被数十篇研究论文所引用，通常被称为Chen solution或Kuosa-Meyrignac-Chen Solution。

此后，2007年英国数学家Broadhurst借用了1500多年前《孙子算经》的“中国剩余定理”的思想，找到了11次方的第二组解，其论文的题目就叫“AChinese PTE Solution”；2008年印度人Choudhry和挪威人Wroblewski共同找到了11次方的部分公式解。

但是，对于10次方PTE等幂和问题，至今仍然没有进展。2002年加拿大数学家Borwein等三人在加拿大国家自然科学基金的资助下，用100多台电脑搜索至2000范围；2001年我用单台电脑搜索至2000范围；2014年我优化算法后用单台电脑搜索至10000范围；2016年我进一步改进算法后用5台服务器搜索至50000范围，但均未找到解。我在2000年时，找到以下“双十数组”最接近的结果：

[ 0, 17,27, 75, 116, 158, 176, 191, 258, 285, 317, 318 ] ₁₀

= [ 5, 6,38, 65, 132, 147, 165, 207, 248, 296, 306, 323 ] ₁₀

但两组数各为12个，不是10次方“双十数组”的理想解（应为各11个数）。

目前，我在不断改进数学算法的基础上，正用数十台服务器，同时展开10次方“双十数组”、12次方“双十二数组”以及13次方“双十三数组”的全面求解。

三、“双十一购物节”的未来

我自1985年读高中一年级第一次接触等幂和问题开始，便有了一种犹如与生俱来的热爱，作为业余的数学爱好，31年来一直难以割舍。在我看来，这是数论乃至整个数学领域中最完美和谐最不可思议的谜题。我始终相信，如此美丽的数学关系一定蕴含着更深刻的自然规律。

31年来，我在等幂和问题上做过大量国际领先的创新研究。具体可参看我在1997年开始设立的等幂和问题研究网站，这个网站对200多年来等幂和问题的研究结果进行了全面的归类总结。尽管在网站上，我一直只公布自己的最终研究结果（数值解），从未公开具体的研究方法，但我网站上发布的研究结果，依然被几十篇正式学术论文和学术专著引用为参考文献。

网站地址：eslpower.org（备份网站 euler.free.fr/eslp）

近期也我开始在科学网上写一些中文的研究笔记：

http://blog.sciencenet.cn/u/ChenShuwen

借用“双十一购物节”发布这篇文章的机会，顺便插播一下广告。

2009年开始，我把等幂和数组引入到本公司的软件加密技术中。基本做法是，选取若干等幂和数组（每组都可以演变出无数组新的等幂和数组），等号左边的数经变换存入软件，等号右边的数经变换存入硬件，最终由硬件端进行加密的校验。基于等幂和数组独特的数学原理，这种软件加密技术具有复杂、高效、极其难以破解的特征，这也是国际上把等幂和问题的研究成果引入实际应用的先例。

本公司在核心技术上，应用了人类在等幂和问题上的最新研究成果，是业内领先的LED控制系统研发商，也是国际上领先的三维立体LED显示研发和制造商。公司网址：www.seekway.com.cn 微信公众号：彩立方科技、思域科技

广告插播完毕。

在我的等幂和问题研究结果中，最有意义又最不可思议的，是发现了PTE等幂和问题的素数解。

2016年9月下旬，我带着碰碰运气的心态，开始尝试研究等幂和问题的素数解。本来，整数解的求解尚且如此艰巨，素数解更是难以想象的，但很幸运，在短短两三周内，我就找到了多种类型的等幂和问题的素数解。其中最具挑战的是八次方和九次方等幂和的素数解。当时是9月底，我正我随北大汇丰EMBA班到美国的耶鲁和哈佛研修，我们白天学习商业和金融的课程，夜晚倒时差，我每天午夜开始继续PTE等幂和的素数解的研究。经过连续一个星期的凌晨时段的努力，我发现了素数解的本质规律，并不断优化算法，终于在结束哈佛商学院的课程之前，我找到了8次方和9次方PTE等幂和的各一组素数解，都是在1亿范围内唯一的一组。

例如以下9次方PTE等幂和的素数解：

2589701^k + 2972741^k + 6579701^k + 9388661^k + 9420581^k

+ 15740741^k + 15772661^k + 18581621^k + 22188581^k + 22571621^k

= 2749301^k + 2781221^k + 6835061^k + 8399141^k + 10314341^k

+ 14846981^k + 16762181^k + 18326261^k + 22380101^k + 22412021^k

( k = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9 )

期间，我们在哈佛商学院的上最后一堂课时，教授讲金融创新，我第一次对比特币有了初步认识。回国后，我开始关注作为比特币底层技术的区块链技术。

一本名为《区块链：技术驱动金融》的最新书籍，引起我强烈兴趣，该书原版的英文名其实是《BITCOINAND CRYPTOCURRENCY》（比特币与加密数字货币）。作者是普林斯顿大学的几位区块链技术专家。书中在关于比特币的挖矿算法的章节中，探讨了多种不同的数学算法，包括互联网梅森素数搜索GIMPS项目，以及基于寻找素数的坎宁安链的素数币。

近期，在对比特币、素数币以及区块链技术分析比较的基础上，我发现，基于等幂和素数解的加密数字货币方案，不但具备比特币和素数币的全部优点，且各方面技术特征均更优或等同，因此，有望成为一种理想的加密数字货币。

更为重要的，目前SHA-256算法的比特币解谜挖矿过程，要消耗几十万千瓦的电能，但该运算对社会没有有益贡献，是一个资源的浪费。素数币正是从这一点出发，挑战比特币的地位。相比作为素数币的数学基础的素数坎宁安链，等幂和问题已有两百多年的研究历史，包括欧拉、哥德巴赫、华罗庚、陈景润等世界一流的数学家都研究关注过，数学上的研究意义远高于坎宁安链。

关于等幂和问题和区块链技术的更进一步探讨，可以参考我在科学网上的文章：

http://blog.sciencenet.cn/u/ChenShuwen

作为比特币底层技术的区块链，被视为继互联网后，未来改变货币、商业和世界的又一次技术革命。对基于等幂和素数解的加密数字货币方案的可行性做更进一步的研究，这将是一项充满挑战的艰巨工作，但若该方案具备成为一种理想甚至完美的加密数字货币的可行性，无论在加速基础数学研究和驱动金融科技创新方面，其想象空间都是非常巨大的。

写此文的期间，我重新翻阅了华罗庚的几篇论文，无意中发现，1938年华罗庚在《关于Tarry问题》一文最后的附注中指出：“其关于PTE等幂和的整数解存在范围的结论，同样适用于素数解。”（《华罗庚文集》数论卷III）

也就是说，七十八年前，华罗庚已经证明了PTE等幂和的素数解的存在性，七十八年后，我把9次方以内的素数解找了出来。

       基于等幂和素数解的区块链技术，会应用到未来的“双十一购物节”吗？