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现有教材中的大气绝热递减率推导均有错误?

已有 3571 次阅读 2016-9-20 21:14 |系统分类:科研笔记

2012.1.18

现有的几乎所有有关教材在提到大气绝热递减率时,都用了基本相同的推导方法,结论都是rd=g/cp,取值在9.8~9.7之间,通常取值9.8

但笔者认为,这个结果是错误的,错误的根源在于推导的起点存在概念错误,理由如下。

大气的干绝热过程,并非一个不做非体积功的过程,而是一个必须考虑重力场做功的过程。对任意一个气团,其总能量可以写出如下方程式:大气的总能量=内能+势能+动能+潜热能(如无相变可不考虑)。在能量守恒的前提下,任意一个大气气团的能量无外乎在这几个能量间进行转化,同时再加上该气团与周围大气的热交换和功交换,即可得到在能量守恒原理下的气团能量的守恒公式(等式)。即对于任意一气团,可有如下等式:气团与周围大气的热交换+气团与周围大气的功交换=内能的变化+势能的变化+动能的变化+潜热能的变化。此式是分析大气中气团热力学变化的基础。

在上式的基础上,我们来进一步分析大气中任意一气团的变化。在大气的稳定度和混合层分析中,我们的研究目的是了解一个自由的气团在大气中做上升下降变化后,将出现什么样的后果。为此,我们不仅要假定该气团在升降过程中不与周围大气发生热交换,也同样不能与周围大气发生功的交换,仅仅是在重力场的作用下发生自由升降时的后果(在现有的所有教材中,只考虑气团不与周围大气发生热交换,但却发生了功交换,这在逻辑上就是不自洽的,既然要考虑该气团是与周围大气孤立隔绝的,为何在热交换上考虑了孤立隔绝,而功上却要考虑与周围大气有交换呢?)。

在上述思想下,可进一步做如下推演:该气团在升降过程中,动能也认为基本保持不变,即初速度多少,终点速度还是多少,同时不考虑相变,因此可以得到如下等式:气团与外界的热交换+气团与外界的功交换=内能的变化+势能的变化。又由于我们要分析的是该气团与外界大气没有热和功的交换,仅考虑重力场作用的情形下的自由变化过程,因此上式可进一步简化为:内能的变化+势能的变化=0

在上式的基础上,先来考虑内能的变化,由于在大气污染扩散研究中,我们关注的大气主要是从地面起几千米范围内(尤其是3千米以内)的大气层,在该层大气中,气压与高度的关系基本符合P=ρgh的关系,这就意味着在近地层的大气中,大气的密度变化是可以近似不考虑的,因此气团在该层大气中的升降时,可以看成是一个定容变化过程,其内能变化可以用cv×ΔT来计算。由此,可将上式改写为:n×cv×ΔT+n×F大气平均分子量×g×Δh=0。式中,n为该气团的摩尔数。

进一步的,可简化为:ΔT/Δh = -F大气平均分子量×g/cv=rd

对于上式,F大气平均分子量取值为29,g为9.8,cv为21,则最终结果为

ΔT/Δh=13.53K/km,即为1.353℃/100m。

上述结果与现有教材的推导结果不同之处主要在于,现有教材的结果公式中是cp而不是cv,若把上式的cv cp代替,则结果仍为9.75℃/km,约等于0.98℃/100m。导致这个错误的根源在于推导的起点考虑失当。

综上,大气的干绝热升降过程并非一个不做非体积功的过程,而且其过程不仅应是绝热的,还应是与外界之间除重力外不做其他功(包括体积功)的过程。因此该过程的严格说法应该是 “在重力场中的(可逆)自由变化过程”,相应的“绝热递减率”应被称为“重力场中的绝热自由递减率”。

如果上文的推导过程和结论是正确的,则在上文的基础上,需要对现有有关大气绝热过程的所有有关结论和推广应用进行全面修正。

  

后记:所有的有关教材似乎都错了?简直不敢相信

我这学期承担了《环境系统分析》课的教学工作,在备课的过程中,发现在有关大气混合层的推导论述中,几乎所有有关这个问题的教材(至少我目前翻看的十来本教材均如此)在这个问题上的推导论述都是含糊不清的,最为多见的论述方法是在照搬《大气物理》、《热力学》或《物理化学》中的某个有关公式的基础上,进行推广应用。于是,我又去寻根溯源看这些书中的有关推导和论述(尽管学生阶段我也学过这些知识,但当初并没有发现这些问题,或者说没这么去想过)。前后反复思考过好几遍了,越思考越让我感到惊讶,简直有点不敢相信自己的判断了。

我目前的初步结论是:不仅仅是在有关大气污染的混合层分析中,现有的几乎所有书籍都是含糊不清的,更为严重的是,在混合层分析过程中所用到的基础知识——大气的绝热递减率——在几乎所有有关大气热力学分析的书籍中竟然也都是错误的,错误的原因都是相同的:即都用了不做非体积功的推导方法、同时分析过程中气团与外界没有热交换但却有体积功的交换。

 2012.1.18

补充1rd究竟是1.35更准确还是0.98,除了上文的理论推导,还可以通过实验验证的方法来检验,检验不同情况下的大气稳定度(比较好的方式是在静风、微风条件下测量大气的垂直温度分布,同时考查当时的大气稳定度情况和混合层的分布情况,以此来检验rd的正确性)。同时,由于上述推导过程中做了许多近似和忽略,比如没有考虑除重力外的其他作用力、没有考虑空气直接吸收的地面辐射和太阳辐射、没有考虑空气在垂直分布上的变化(平均分子量有变化、大气密度有变化)等等,因此1.35也不是非常精确,是一个近似结果,其准确性可用实验进行验证。

 

补充2:在大气的混合层分析(在大气污染分析中常常用到)中,笔者认为如下推导才是更为严密的:

在对大气的干绝热递减率进行了上文的修正以后,可做如下应用:

 

如图所示,当γ<γd时,我们以任意高处的一个气团为例来分析其运动特征。

假设该气团所处的位置为0,该处的气压与气温分别为(T0P0),由于大气气压在3000米以下的范围内与高度的关系近似为线性反比关系,因此可以用h0代替P 0来分析其数量关系。

现在如果该气团在一个微小的扰动下开始向上运动,假设该气团运动到h1的高处,且运动过程与周围环境没有热量和质量的交换,压强的变化与周围大气保持处处相同,体积保持不变,则该气团的变化符合绝热等温线的变化趋势,其温度与高度的变化与绝热等温线相同,因此可以以0点为起点,做与γd平行的直线,即可得到该气团在绝热过程中运动到h1高处时的温度,记为T1,此时该气团的密度可以用PV=NRT来确定,为N/V0=P/RT1

而此时,周围大气的密度可以通过一个与理想气团等质量的气团的理想气体状态方程来确定,为N/V1=P/RTs。由于Ts>T1,气团的压强处处与大气相等,因此,此时理想气团的密度将大于周围大气的密度,故而会产生下沉现象,回到原位0点。

类似的,若该理想气团的初速度是向下运动的,由于其下沉后随绝热等温线变化后的温度要高于周围实际大气的温度,导致其体积会大于周围同质量的实际大气的体积,即密度小于周围大气的密度,因此会产生上浮力,同样最终会回到原点。

综上,γ<γd时大气是稳定的。

 同理,可以证明在r>rd的条件下,大气是不稳定的。

 

补充3:为何简直不敢相信自己的判断?
原因是在一个已经很成熟的学科中,竟然在一个应用基础性的问题上错用几十年,经过那么多聪明人的头脑检验过的并不复杂的知识竟然出错了无人发现,这才是最令我惊讶和不敢轻易相信自己的判断的原因,因此反复思考了好几遍才动笔写了这篇短文。
补充4:为何错误一直未被发现?
这个错误一直没有被发现的原因是:尽管0.98与1.35在数值上差别不小,但在许多情形中却影响不会太大,具体理由可以从具体应用中去找,就不细说了,留给本文的读者去自行思考吧。

 

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