光学基础知识大讲堂

——第11期：采样与压缩感知

日常生活中，我们通常会遇到这样的情况，当你看一个电风扇，刚开始你能分辨得出转动的方向，速度达到一定程度的时候你已经分辨不出来了，甚至会产生错觉，似乎扇叶在倒着转！

图1 风扇转动动图（图片来源于网络）

其实，这就是采样的问题。在前面全息技术那一期中也有提到过人眼的视觉滞留效应，当人眼观看到某一帧画面的时候，会停留1/24秒左右的时间，也就是说1秒钟内如果连续放24帧以上的画面，那么你看到的是连续的画面，反之就是不连续的。再举个例子，如果一根木棍绕中心点转动，转动速度是1秒钟转一圈，然后用相机也是每隔1秒钟拍一张照片，那么你会发现所有的照片都是一样的，然后你认为它没有动。其实这就是采样频率不足导致的错觉，那采样频率达到多少才能真正看清图像呢？

图2 转动示意图（图片来源于网络）

显然，从上面的例子中可知，采样频率起码是原来的1倍以上才行，那具体多少呢？奈奎斯特采样定理告诉我们，采样频率必须高于原信号最高频率的2倍，才能完整保留原始信号中的信息。
     暂且忘了上面的动图，图像不仅仅只有转动，还有诗和…咳咳…是频谱。好，关于图像的问题来了，而且还是2个：第一，为啥要采样啊？第二，图像到底是个啥啊？什么叫完整保留图像信息，那什么叫不完整咧？
     首先回答第一个问题，为啥要采样。比如要调研一个庞大的样品库，全部调研是不现实的，所以必须采用抽样的模式进行，否则累死你。对于信号也一样，一个连续信号是由无数个离散信号组成，如果要对信号进行传输，就只能采用采样的方式，否则无论采样时间还是存储空间都是无法估量的。
     接下来回答第二个问题，图像是啥。换句话说，就是图像的本质是什么，其实更精确地说应该是物质的本质是什么？由爱因斯坦的质能方程可以得知，物质是能量的一种表现形式，只不过它是我们看得到的，另外一些能量的表现形式我们看不到，比如热、非可见光的电磁波等等。那能量又是用什么来表示？正弦波。又有童鞋要问了，为啥是正弦波，不是方波、三角波或者其他波形来表示，答案是它总要有个波形吧。好吧，开个玩笑（有点冷），真实情况是其他所有的波形都可以用正弦波来表示（用逼近更准确，这个就厉害了），前面某一期中也提到过如何用正弦波合成方波（详见第5期：什么是超分辨中的图3）。
     好，现在我们知道了，任何信号都是由正弦波组成的，从频域上可以分解成如下图一样的很多个频率成分，高频代表图像的细节成分，所以如果要真实还原图像，就必须把这所有的频率成分都包含进去。如果看不懂的童鞋，请先翻看第5期：什么是超分辨的物理本质部分。

图3 信号的傅里叶分析（图片来源于知乎，作者 Heinrich）

举个例子，如果想把一幅含有最高频率成分为15ω的图像复原，那么就必须要求采样后的频率成分大于15ω，当然采样频率高太多也没有用，因为传输后的图像最高水平也只能达到你原图像的像素。当然，前面只是一个例子，实际情况传输的信号图像高频成分都很高，所以你只有可能舍弃掉高频成分，而不会是全包含。另外一个方面，人眼本质上也是个探测器，有分辨率极限，所以没有必要要求传输图像分辨率非常的高，因为再清晰、分辨率再高的图像到人眼的分辨率最后都一样。

图4 像素较低的图片（图片来源于网络）

重点来了，如何理解奈奎斯特采样定理中采样频率必须高于2倍最高频率？高于最高频率前面已经提到了，必须包含，否则就等同于图像失真，丢失了图像的细节部分。接下来的问题是为什么是2倍的最高频率？
      我们都知道，信号是由不同频率的正弦波组成，那么我们要探测一个正弦波，如何做到？最笨的办法就是把正弦波上的所有点都探测出来，不过那也是不现实的。那因为我们知道是正弦波，而且正弦波是有周期性的，所以我们只需要探测到如下图的2个点，我们就能确定这个正弦波的样子了，自然我们就能得到完整的正弦波信号。所以，我们把这二者结合起来，就变成了奈奎斯特采样定理：采样频率必须高于原信号最高频率的2倍，才能完整保留原始信号中的信息。

图5 正弦波采样图（图片来源于网络）
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前人总是那么的伟大，以至于我们只有膜拜的份。奈奎斯特告诉我们采样必须高于2倍最高频率，否则信息不全。毛主席也告诉我们，实践是检验真理的唯一标准，所以我们吭哧吭哧地验证，好像还真是那么回事儿。直到某一天，Tao和几个外国人（谁不重要，我也不认识）跳出来了，我可以远小于奈奎斯特采样率来重建信号，于是压缩感知理论诞生了。颠覆三观啊，用一个字评价这个理论：火。在短短几年时间内，其影响席卷了大半个应用学科，并被美国科技评论评为2007年度十大科技进展。
     在解释什么是压缩感知之前，首先介绍下一般的压缩理论，一般的压缩是将内容中很多重复的东西用特定的字符代替。比如你买了大闸蟹，蟹用绳子绑住了，身上还有很多水，于是你先把它甩干，然后得知那绳子是什么材质，多少粗细，然后把绳子扔掉，家里有这样的绳子。最后你把大闸蟹带回家，再加点水，绑个一样的绳子就复原了。这个过程就是目前数据压缩的过程，它只是节省了你传输过程的成本（带回家变轻了），但是没有节省信息采集的成本（你买的时候老板不会同意把绳子去掉的，甩甩螃蟹还怕你甩死它）。而压缩感知倒确确实实是在采集数据的时候就大量减轻了工作量，接下来是见证奇迹的时刻。
    这是一个数学问题，所以我们用数学的方式来简单解释下，包看懂。大学里都学过矩阵，假设Y=[y1,y2,…,ym]，X= [x1,x2,…,xn],m远远小于n,总会存在这样一个观测矩阵A，使得下面的公式成立。

基础线性代数知识来了，假设n=1000，m=50,那要找到这么个矩阵A的条件是什么，条件是n=1000的矩阵X其中包含了很多个0，否则根本找不到A来获得m=50的矩阵Y。第二个问题，假设找到了上面的矩阵A，那么下面的公式成不成立？

简单看下公式的区别，多了最下面一行，显然公式成立，只不过变成相关的了，数据冗余了对不对，我不需要最下面那一行数据。所以，压缩感知理论的两大特性来了：不相关性和稀疏性（就是原图像矩阵X中含有很多的0）。只有满足这2个条件，压缩感知才能把原本1000行的数据通过计算的方式转换成50行的数据。
     神奇吧，好像也还行。那最后一个问题，我们现实生活中图像都是稀疏的吗，即换成矩阵写法的时候会有很多0？答案：是的。举个例子，我们的原子结构是由什么构成的？原子核和电子，但是空气（真空）却占据了99.99..%的成分，这是一个道理。Over！！！

图6 原子结构示意图（图片来源于网络）