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为什么要研究度规开方几何学

已有 559 次阅读 2019-6-25 07:54 |系统分类:科研笔记

黎曼几何是广义相对论的几何背景,时空由度规描述的几何对象描述,引力场被描述为时空弯曲。广义相对论中,测地线方程描述了物质在不受其它力的情况下所遵循的运动轨迹,爱因斯坦方程决定了物质如何弯曲时空。


在广义相对论中,爱因斯坦默认遵循的事实上是几何决定物理学的思想。找到一个几何结构,给出了这个几何结构中的定义与公理,接下来推导出来的东西原则上就确定了。而几何结构的定义与公理就是基本物理学的基本内容,推导出来的东西就是这个物理理论所能允许的可能的存在物、存在物的性质和表现出来的现象。


在几何决定物理学的指导原则下,爱因斯坦接下来尝试建立新的几何学统一当时发现的电磁相互作用与引力。这一思想被魏尔发展为早期的规范不变性思想以及被卡鲁扎发展为额外维度的思想。


后来,Yang-Mills理论被确认了。Yang-Mills理论以规范不变性作为其基本特征,给出了描述电磁、弱和强相互作用的理论框架。而Yang-Mills理论事实上与数学上的复结构群G的纤维丛理论有良好对应。


广义相对论其实也可以在纤维丛的理论框架下进行重写,只不过广义相对论的结构群G是实的,对应的纤维丛叫做切丛和余切丛。


在几何决定物理学的另一思路下,是引入额外维度来赋予引力以外的其它场在几何上理论上的存在位置。最典型的尝试是弦论和M理论。然而,弦论与M理论引入额外维度的做法带来了巨大的理论构造上的冗余空间,以至于出现了弦景观(landscape)这一说法并导致了弦论丢失了预言性。另外,弦论似乎需要引入其它冗余的结构,比如超对称,并预言了很多没被观测到的粒子,比如自旋3/2的粒子。


那么,如果在几何决定物理学的指导思想下,有没有可能融合广义相对论的切丛和Yang-Mills理论的复结构群G纤维丛?并且要求复结构群G纤维丛的出现和切丛的出现一样自然?我们的选择其实并不多。


通过长期的探索与尝试,我最终选定了研究度规开方几何。因为这一几何能自然的引入度规结构和复结构群G的纤维丛。并且我们证明了,对4维黎曼几何的开方带来的复结构群是U(4). U(4)的Yang-Mills理论能和对撞机上发现的粒子谱对应起来吗?答案是可以的,并且有非常良好的对应。详情可见本人文章arXiv:1412.2578和前面的博客文章。


事实上,度规开方几何导出的物理学是对现有广义相对论和标准模型进行微小修饰后给出的完美化、统一化的图景。并且,它的数学结构清晰、物理预言明确而唯一。从历史的角度来看,它才是广义相对论和Yang-Mills理论生下来的“亲儿子”。





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