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[按:以下内容为本课程第一讲的授课提纲。]
数学分析IV
看到与n有关的命题,不妨先考察n=1,2,3,4的情形。
数学:数与形 (物理:质,也要通过数与形体现)。
分析:将事物分割为最小单位。(工具:常规与非常规。)
数:自然数、整数、有理数、无理数、实数。
形:形状、结构;几何、拓扑。
数中有形:素数的分布、实数的结构。
形中有数:面积、弧长、半径、曲率、挠率。
数学的表示:符号。
符号:集合、元素(成员)、映射(关系、运算)。
数学的载体:大自然、文献、书籍;社会。(眼界要放宽)。
广义的讲,对大自然、文献、书籍、社会,从数与形两方面进行的分析,即为数学分析。这种分析包含对事物作微积分的、代数的、几何的、拓扑的、对称的分析;或者说考察有关数与形的某种模式。比如,看到一串数,不妨探查一下其中的规律:这些数之间彼此有无联系?以何种方式联系?这些数字有什么含义?把它们加起来看看,再将相邻的数作差看看,等等。
分析的目的:将复杂的、复合的、整体的事物分割或分解为简单的、最基本的事物,为的是更好的认识事物,并获取有价值的信息。这里的“更好的”,是指更准确、更精确或更透彻。对事物进行适当的“分类”也可以看作分析的手段。
职业:I. 数学家、物理学家、工程师、会计、精算师、金融分析师……
II. 程序设计师(英语软件、游戏软件、网络软件)
III. 公司总裁
以上是广义的、粗线条的描述。现在从数学分析这门“课”的角度讲,它的主要内容是微积分,包括极限、连续、微分、积分、级数。
课堂活动:开动想象,讨论直线或直线段的起源(列举100个大自然中的例子)。
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