[注：下文是群邮件的内容，标题是另拟的。抬头下方加了一条语录。]

这会儿想谈一点 “方法” 和 “规律”...

* * *

领袖和跟风者的区别就在于创新。

—— 史蒂芬·乔布斯

.

小学里学习过矩形，其邻边彼此垂直。矩形也称作 “长方形”，可以看作 “方” 的实例。矩形的面积为：长边 x 短边，公式表达为 ab。在这个公式中，a 和 b 代表 “边长”。“形而上” 是指保留 形式 而去除内容。由此，一切形如 ab 的表达式都可以看作 “方”。此时，a 和 b 可以指代任何 “适格的” 事物。

.

比如，f(x)·g(x) 可以看作 “方”，而 f(g(x)) 也可以看作 “方”，后者是法则的 “乘积” f·g。如果对 f(x)·g(x) 在负无穷到正无穷上积分得到零，则 f(x) 和 g(x) 就彼此整个地 “垂直” 了。

.

回到伽罗瓦理论。G(X) = H(X, r)·Q(X, r) 的右端即为 “方” 的形式。那个引理说，用 α^i·r 替换 r (这个替换称作 “本原作用”)，则等式仍然成立。换句话说，本原作用保持 “方”*，这是从 “形式” 上来说的 (“方” 是此种形式的名称)。而本来只有一个方，现在又新产生了 p - 1 个方。刚才的 i = 1, 2, ..., p - 1。是为 “诸方”。它们是同一个对象 g(X) 的不同表达式，好比同一个矩形的 p 个面积公式。这就形成了一个类似于 “米” 的连接关系。星号注：在多项式的上下文里，“方” 和 整除 是等价的。

.

证明中出现了诸方做 “连乘法” 的操作，这就是 power 了。到了这一步，接着就运用了引理1。这其中体现了一种高超的灵活性。审视整个证明，几乎每一段都用到了引理1。按此角色，引理1 可以称作 “枢纽引理”。(预料此引理贯穿整个伽罗瓦理论)。所谓 “灵活性”，是指以出乎意料的方式走到引理1的怀抱。

.

不过有一点比较有规律，那就是涉及到根和嵌套*时，紧跟其后的步骤乃是运用引理1。星号注：嵌套即函数的复合。

.

比如，对于 H(X, r) 的两个根 u 和 v，它们之间存在多项式关系 v = ψ(u)，由于 v 是 H(X, r) 的根，则 u 成了 H(ψ(X), r) 的根。两个橙色的多项式有共同的根 u，而前者不可约，从而整除后者 —— 这就运用了引理1。

.

写到这里忽然想到，也许最大的规律就是—— 枢纽引理贯穿整个理论。这意味着，无论身处理论的哪个地方，推演的过程总是指向引理1。或者说，每个阶段所作的推演只是为再一次运用引理1做准备。这样就对伽罗瓦理论有了统一的观点。