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[学习笔记] H.E. p.59 逐段温习之第四段

已有 520 次阅读 2020-9-14 16:15 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 

再逐段温习一遍 (之证明的第四段)。注:下文的黑体不代表向量,只是为了增加视觉效果。

.

U       V·W

 .

r         α^i

注:右下角在 K-世界,其余符号在 K'-世界。

.

引理:本原作用保持 r-分解。

---- r-分解是指等式 U(X, r) = V(X, r)·W(X, r)。

---- “本原作用”是指用 α^i·r 替换 r。

.

证明如下。

---- 从 r-分解 “脱出” (K 之上的) 多项式 U(X, Y) - V(X, Y)·W(X, Y)。

---- 观察:r 是上述多项式的根。

---- 另一方面 r 也是 Y^p - k = 0 的根,该方程在 K 之上不可约。

---- 只须证明  Y^p - k 整除 U(X, Y) - V(X, Y)·W(X, Y),从而前者的所有根都传递给后者。见注1。

---- 而 U(X, Y) - V(X, Y)·W(X, Y) 可以写成通项为 Φk(Y)·X^k 的样子。

---- r 是前者的根,则由 X 的任意性(如令 X=Z^2) 知:r 是每个 Φk(Y) 的根。

---- 由伽罗瓦的引理1,Y^p - k 整除每个 Φk(Y),从而整除 U(X, Y) - V(X, Y)·W(X, Y)。

---- 于是 Y^p - k 的根 α^i·r 也是后者的根。

---- 即  U(X, α^i·r) = V(X, α^i·r)·W(X, α^i·r)。

.

注1:此处不能直接使用伽罗瓦的引理1,因为一个是 Y 的多项式,而另一个是 X 和 Y 的多项式。写出通项后就转化为 Y 的多项式之间的关系。此处体现出 如何灵活运用 伽罗瓦的引理1 (可以有各种不容易想到的灵活运用)。

.

又注:上面的多项式,只要不带入 r,都在 K 之上。

.

小结:证明的第四段温习完毕。(第二、三、四段都是为第五段做准备)。




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