[注：下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

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逐段温习一遍 (之证明的第三段)。注：下文的黑体不代表向量，只是为了增加视觉效果。

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G(X)    H(X)

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K          K'

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评论：这四个元素中，左边是 K-世界，右边是 K'-世界。

---- G(X) 是 F(X) 在 K 之上的不可约因式。

---- 在 K 中添加 r 后得到 K'(= K(r))，世界变大了些。

---- 类似 G(X)，H(X) 是 F(X) 在 K' 之上的不可约因式。

---- G(X) 和 H(X) 都有 t 做为根。注：t 是伽罗瓦预解式。

---- 在各自的世界里，G(X) 和 H(X) 都没有非平凡因式。见评论。

---- 现在把 G(X) 放到更大的 K'-世界。

---- 则由伽罗瓦引理，H(X) 整除 G(X)。

---- 即 G(X) = H(X)Q(X)，其中 Q(X) 是商。

---- 此时G(X) 有了两个不可约因式 H(X) 和 Q(X)。见评论。

---- 前述等式可以写成 G(X) = H(X, r)Q(X, r)。见注1。

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注1： 由于 H(X) 的系数在 K' 中，则 Q(X) 的系数也在 K' 中。

---- 假设 Q(X) 的系数在 K 中。

---- 则推出 G(X)/Q(X) 的系数也在 K 中 (因为 K 之上的多项式做 “整的” 四则运算结果仍在 K 之上)。

---- 于是由 G(X)/Q(X) = H(X)，推出 H(X) 的系数在 K 中。

---- 可是 H(X) 的系数在 K' 中 (这是已知)。

---- 假设与已知矛盾，从而 Q(X) 的系数在 K' 中，或写成 Q(X, r)。

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评论：某个因式，比如 G(X)，可约或不可约取决于所在的域。

---- G(X) 是从 F(X) 在 K 之上分解出的不可约因式。

---- 此时 G(X) 仍可能有 潜在的 不可约因式，好比 “冻结” 在 G(X) 之中。

---- 一旦放到更大的域 K' 之上，潜在的不可约因式就可以分解出来 ( “解冻” 了)。

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观察：G(X) = H(X, r)Q(X, r) 的左端在 K-世界(但看作*在K'-世界)，而右端的每个因式在 K'-世界。星号注：小世界是大世界的一部分。

---- 从因式分解的角度看，这并不奇怪 (因为更大的世界会有更多的不可约因式)。

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小结：证明的第三段温习完毕。注意：第二段和第三段是平行的关系 (前者对后者的贡献仅仅是 H(X) 的另一个写法 H(X, r))。