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[学习笔记] H.E. p.59 逐段温习之第三段

已有 506 次阅读 2020-9-13 15:05 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容。]

《Galois theory》

H.E. p. 59 (S44)

* * * 

逐段温习一遍 (之证明的第三段)。注:下文的黑体不代表向量,只是为了增加视觉效果。

.

G(X)    H(X)

.

K          K'

.

评论:这四个元素中,左边是 K-世界,右边是 K'-世界。

---- G(X) 是 F(X) 在 K 之上的不可约因式。

---- 在 K 中添加 r 后得到 K'(= K(r)),世界变大了些。

---- 类似 G(X),H(X) 是 F(X) 在 K' 之上的不可约因式。

---- G(X) 和 H(X) 都有 t 做为根。注:t 是伽罗瓦预解式。

---- 在各自的世界里,G(X) 和 H(X) 都没有非平凡因式。见评论。

---- 现在把 G(X) 放到更大的 K'-世界。

---- 则由伽罗瓦引理,H(X) 整除 G(X)。

---- 即 G(X) = H(X)Q(X),其中 Q(X) 是商。

---- 此时G(X) 有了两个不可约因式 H(X) 和 Q(X)。见评论。

---- 前述等式可以写成 G(X) = H(X, r)Q(X, r)见注1。

.

注1: 由于 H(X) 的系数在 K' 中,则 Q(X) 的系数也在 K' 中。

---- 假设 Q(X) 的系数在 K 中。

---- 则推出 G(X)/Q(X) 的系数也在 K 中 (因为 K 之上的多项式做 “整的” 四则运算结果仍在 K 之上)。

---- 于是由 G(X)/Q(X) = H(X),推出 H(X) 的系数在 K 中。

---- 可是 H(X) 的系数在 K' 中 (这是已知)。

---- 假设与已知矛盾,从而 Q(X) 的系数在 K' 中,或写成 Q(X, r)。

.

评论:某个因式,比如 G(X),可约或不可约取决于所在的域。

---- G(X) 是从 F(X) 在 K 之上分解出的不可约因式。

---- 此时 G(X) 仍可能有 潜在的 不可约因式,好比 “冻结” 在 G(X) 之中。

---- 一旦放到更大的域 K' 之上,潜在的不可约因式就可以分解出来 ( “解冻” 了)。

.

观察:G(X) = H(X, r)Q(X, r) 的左端在 K-世界(但看作*在K'-世界),而右端的每个因式在 K'-世界。星号注:小世界是大世界的一部分。

---- 从因式分解的角度看,这并不奇怪 (因为更大的世界会有更多的不可约因式)。

.

小结:证明的第三段温习完毕。注意:第二段和第三段是平行的关系 (前者对后者的贡献仅仅是 H(X) 的另一个写法 H(X, r))。




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2 郑永军 张忆文

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