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[注:下文是群邮件的内容。]
《Galois theory》 H.E. p. 56 (S42) * * * 14:53 2. Show that a subgroup H of a group G partitions a presentation of G into presentations of H and, in particular, that the number of elements in H divides the number of elements in G. ---- 群 G 的子群 H 分割 G 的表述为 H 的若干表述,并且 H 中元素的个数整除 G 中元素的个数。 . 证明:考虑 G的元素 n = 6 的情形。此时 G 的表述是 6 x 3 的阵列: a b c b a c c b a a c b b c a c a b . 写到这里需要温习“子群”的概念... ---- 子群是包含在另一个群中的群。 ---- 按第一个练习:置换集构成群当且仅当其成员按复合运算封闭。 ---- 按本练习的提示:子群的情况取决于大群的元素个数的因子分解。 . 评论:对于元素个数 n = 6 的大群,存在因子分解:2 x 3 或 3 x 2 两种方式 (计顺序)。 ..................................................S............T............U....................ST..........................TU 先写出大群的置换:G = {e, a <~> b, a <~> c, b <~> c, a <~> b & a <~> c, a <~>c & b <~> c },或者写成 G = {e, S, T, U, ST, TU}。 ---- 大群的 6 个置换是以第一行作为 “参照排列” 得出的。 . 现在来构造 G 的子群。 ---- 按练习1的证明,置换群 G 的任何非单位元做若干乘幂运算 (自我复合),可以得到单位元,此时给这个乘幂减少一次,就得到非单位元的逆元。 ---- 这样,取非单位元和它的逆元,再添上单位元就封闭了,从而得到一个 (子) 群。 ---- 对于上述 G,取 S, T 或 U 中的任一个,做一次乘幂就得到单位元 (回去了),这样逆元就是它自己。 ---- 于是有三个 (单一置换) 二元子群:{e, S}, {e, T}, {e, U}。 X ---- 对 ST 做一次乘幂:ST·ST = S^2·T^2 = e·e = e。(置换群是可交换群)。TU 也有类似结果。而 SU = ST · TU 也有类似结果。 X ---- 于是有三个 (复合置换) 二元子群:{e, ST}, {e, TU}, {e, SU}。 ---- 实际上,只要保证封闭即可... ---- 比如四元子群: {e, S, T, ST}, {e, T, U, TU}。 ---- 比如三元子群: {e, S, STS}, {e, T, TST}, {e, U, UTU}, {e, S, SUS}, {e, U, STU}, 等等。 ? ---- 回到二元子群,可以有(三复合):{e, STU},等等。 . 以上四元子群似乎是“不允许的”:违反了整除关系 (4 不整除 6)... ---- 明白了,TST 跑出了 {e, S, T, ST}。 ---- 之前只顾着看 ST 在里头了。 . 小结:以上初步探究了 6 元置换群。(一下子还拿不出证明!) * * *17:02 |
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GMT+8, 2024-9-23 21:26
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