||
[注:下文是群邮件的内容。]
《Galois theory》 H.E. p. 56 (S42) * * * 15:23 Fifth Exercise Set 1. Show that a set of substitutions of n objects a, b, c, ... is a group if and only if it is closed under composition. ---- 置换的集合构成群当且仅当它在复合运算之下封闭。 . 证明:1) 置换的集合(记作 C)构成群 ==> 它在复合运算之下封闭。按照群的定义,这是显然的。 2) C封闭 ==> C是群。 ---- 假定 n = 1。设 C = {d},由封闭性 d^2 = d。这意味着 d = e (单位置换)。即 C 构成群。 ---- 假定 n =2。设 C = {s, t}。由封闭性,s·t = s 或 s·t = t;两者只能居一,不妨设前者成立。则 s 是单位元,其逆元是自己。又由封闭性,t^2 = s 或 t^2= t。后者不可能,因为 s 和 t 不相等,从而 t 不是单位元。则只能有 t^2 = s。从而 t 的逆元是自己。而对于置换的复合,结合律是自然成立的。 ---- 对于一般情况。C = {s, t, ...},假设有 m 个元素。取 C 中任何非单位元,设为 t。接着构造 m个元:t^2, t^3, ..., t^m, t^(m+1),则由封闭性它们都在C中。则它们当中至少有两个等于 C 中 t 以外的同一个元 (设为 s),即 s = t^u = t^v。设 v >u。则 s = s·t^(v-u)。则 t^(v-u) 为单位元 (v - u > 1)。设 t 的逆元为 p。则 t·p = t^(u-v)。取 p = t^(u-v-1)。至此已经证明,C 中有单位元而且任何非单位元都有逆元。证毕。 . 评论:从证明中可以看到置换群的单位元及逆元的具体构造。 * * *18:15 |
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-9-26 07:20
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社