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取其形,而赋其实。

已有 880 次阅读 2020-8-12 15:52 |个人分类:科学随笔|系统分类:科研笔记

[注:下文是群邮件的内容,标题是抬头之一。]

取其形,而赋其实。

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小学里学过矩形的面积公式。比如,长为 A 宽为 a 的矩形,其面积为 A x a。乘法符号 “x” 也经常用一个点 “·” 代替,即 A·a。更简单地,这个点也省略了 Aa。类似地,设有长为 B 宽为 b 的矩形,其面积为 Bb。类似地,可以有第三个矩形,其面积为 Cc。等等。所有这些矩形的面积加起来,得到表达式 ——

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Aa + Bb + Cc + ...

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这个式子是 “诸方之和” 的形式。现在忘掉矩形,转而考虑多项式的根 a, b, c, ... 给它们配上适当的系数 A, B, C, ... 赋于上面的形式。此时就得到了 伽罗瓦预解式。(上述形式亦见于:内积、定积分、级数... 等上下文)。

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再从 “方” 法的角度看一下。面前放着多项式的根:a, b, c, ... 如何使之 “方”?两物并立曰 “方”。最简单地:对于 a,取一数 A 与之并立 Aa,方也。类似地,对于 b,取一数 B 与之并立 Bb,方也。以此类推,得:Aa, Bb, Cc, ... 。各自成方,可取和矣。之后的发展,前文已做解释。

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从映射角度来看。Aa + Bb + Cc + ... 可以看作 a, b, c, ... 的函数 V: a, b, c, ... -> Aa + Bb + Cc + ...。或者写成 V(a, b, c, ...) = Aa + Bb + Cc + ... ;简记 V (也就是之前的 t )。

V =  Aa + Bb + Cc + ...

V'=  Ac + Ba + Cb + ...

V''= Ab + Bc + Ca + ...

...

这些 V, V', V'', ... 是相应的自同构置换的 “表述” (presentation)。这一点前文已提到。

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小结:以上从若干角度温习了伽罗瓦预解式,以获得更 “自然的” 观点。




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