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[注:下文是群邮件的内容,标题是另拟的。]
当遇到一个对象时首先要透彻研究它的诸元素。
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今天读了 Edwards 的第40节(S40),内容是 subgroup。忽然发现我理解的置换和书上的置换不太一样!这厢是位置的交换,那厢是符号的交换。
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a b c c b a
b c a b a c
c a b a c b
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上面是书上举的一个例子(正规子群)。规则是:从一个排列组到另一个排列组只差一个单个置换。比如 a <~> c 作为置换,作用到左边第一行,就得到右边第一行。第二、三行也同样。这是眼睛盯着字母的置换(即符号的交换)。
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再来看下位置的交换。由 a b c 到 c b a,在我看来是 1 3 两个位置上的符号交换(眼睛盯着位置)。再看第一组第二行:b c a 按 1 3 位置交换得到 a c b (第二组第三行)。再看第一组第三行: c a b 按 1 3 位置交换得到 b a c (第二组第二行)。注:对应到第几行并不要紧,两个组的诸行通过单个置换达成一一对应即可。注:这里 1 3 位置交换也可以看作(行的)反射。
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以上检查表明,对于上面的例子而言,两种理解都行得通!(之前在脑子里算的时候没看出来~)。不过在我看来,上面的两个组意味着两个循环群(明明就是),可是书上的观点是这两个组代表一个子群!(这是独立思考的好处:“歧路” 也可能是新路)。
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a b c d a c d b a d b c
b a d c c a b d d a c b
c d a b d b a c b c a d
d c b a b d c a c b d a
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上面是四元置换的例子(正规子群)。按书上的观点,可取置换 b <~> c, b <~> d。它作用于第一组第一行,得到第二组第一行。同样的置换作用于第二组第一行,得到第三组第一行。可以验证,各组后面的诸行都是这样。
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尝试按照位置来做。2 ~ 3, 3 ~ 4。作用于第一组第一行,得到第二组第一行。同样的置换作用于第二组第一行,得到第三组第一行。(第一行的情况与上面一样)。现在,作用到第一组第二行,得到第二组第四行,继续作用得到第三组第三行。记作:[2, 4, 3] 方括号内是各组对应的行。后面有:[3, 2, 4] 和 [4, 3, 2]。
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其实在这个例子中,按位置的观点,对各组的诸行按首位字母检索即可。固定首字母,对应的诸行是三元循环的关系。
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经过以上验证,两种观点都行得通 (具体的对应情况并不一致)。
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GMT+8, 2024-9-21 09:13
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