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[注:修改了标题。内容略修订。]
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前段时间忽然想了解下那位菲奖得主的近况,看看他最近做什么。一直在读的这篇是2016年的两篇预印本之一(“光明顶”那篇)。另一篇初版有60多页,最近发现原作的最终版扩充至90+页。希望短的这篇也会得到扩充,那样也许会解开一些困惑。Birkar 在预印本文库中发布了33篇文章,最早的一篇是2003年,平均每年两篇。最近又贴出两篇,一个不算长的综述及一个新主题。
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新学期打算介绍这篇文章,让学生们了解下这类研究。Birkar的这篇文章用到2014年的一个结果,那里也提到 BAB 猜想。搜了里头的内容,那组作者没提到 “complement” 这个概念,而 Birkar 的文章里就此发展出一个主要定理,起到关键作用。在证明中,Birkar 给出了关于配对奇异性的一个新引理(某种凸组合公式),其形式和证明都相当简单,在内文中多次用到。这个引理到了2016年才出现,确实令人惊讶。通常人们都往深处考虑,但少许 “钥匙” 也可能藏在浅处...
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文章的 “主定理” 表述很简单:某类型的弱法诺簇形成有界族。换个说法,将所考察的簇记作 {X},若 X 使得配对 (X, B) 对某个 B 构成 eps-lc 型奇异,并且 - (Kx + B) 为 nef 和 big,则 {X} 构成有界族。这里的 “有界” 不是普通意义上的概念,按下不表。
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法诺簇(Fano variety) 是这样一类簇,记作 X,它使得配对 (X, B) 对某个B 为 lc 型奇异,并且 - (Kx + B) 为 ample。弱法诺簇只是将 lc 改为 eps-lc,并将 ample 改为 nef 和 big。暂不追究 ample, nef 和 big 的含义,知道是某种性质或约束即可(若追究难免又遇到一堆陌生概念)。
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文章里到处用到“配对”,而证明过程也多呈现为 “配对的演化”。配对的概念文章里有解释,初识只要知道它的模样即可:一对括弧,里面有两个大写字母,并用逗号隔开。此文中的配对有三个奇异类型:lc, klt, eps-lc。
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跟主定理最贴近的是一个“副定理”,源于 Ambro 猜想,它的结论是一个不等式。有了它,再结合较长那篇文章里的好几个定理,外加少许引用的结果,就可以证明主定理。副定理的条件跟主定理一样,但引入了记号 A:= - (Kx + B). 结论是存在正数 t,使得 lct(X, B, |A|) ≥ t. 文章的 Sect.3 对它做出了证明。
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上面结论中出现的符号不难理解,有大三水平就行。首先这个 |A| 是一个集合:|A| = {L≥ 0 | L ~ A},里头的波浪号是等价的意思(猜测是一种线性的同构映射)。那么这个 |A| 就叫做 “线性系统”。此处是在实数域上考虑。来看配对 (X, B),拿出 B 待用,再取 L ∈ |A|,并构造线性关系 B + tL。考虑集合 { t | (X, B + tL) is lc for every L ∈ |A|},给这个集合取上确界 就得到 lct(X, B, |A|),副定理就是讲它呢有正的下界。
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为了证明副定理(Ambro 猜想),作者考虑了更一般的情况,做成一个定理。它可以看做全篇的 “执行定理”(有点像CEO的地位),撑起了整篇文章的架构。执行定理的证明篇幅不大,多半页的样子,从中可了解全篇的脉络。这里头主要用到 Sect 5 的内容,那里将 BAB 猜想归结到 toric 情形(涉及到 “complement 技术”)。
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“complement”这个概念是其它人发明的,文章得出了一个定理,起到关键作用。它可以看做全篇的 “技术定理”(有点“黑科技”的味道)。Sect.4 单列一节做出了证明,篇幅占3.5页。
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评论:以上概括了短文章的四大定理。全篇证明分为若干单元(Sect.3 两个,Sect.4 一个,Sect.5 四个,Sect.6 一个)。
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小结: 花一年时间读完短文章。(计划开读长文章,间或温习短文章)。
符号大全、上下标.|| 常用:↑↓ π ΓΔΛΘΩμφΣ∈ ∉ ∪ ∩ ⊆ ⊇ ⊂ ⊃ ≤ ≥ ⌊ ⌋ ⌈ ⌉ ≠ ≡ ⁻⁰ ¹ ² ³ ᵈ ⁺ ₊ ₀ ₁ ₂ ₃ ᵢ .
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第一轮读写链接(按目录顺序)
Abstract 8/4
Introduction
Boundedness of singular Fano varieties (1) 8/5
Boundedness of singular Fano varieties (2) 8/6
Boundedness of singular Fano varieties (3) 8/7
Boundedness of singular Fano varieties (4) 8/8
Boundedness of singular Fano varieties (5) 8/9
Boundedness of singular Fano varieties (6) 8/9
Jordan property of Cremona groups 8/10
Lc thresholds of lR-linear systems 8/11
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (1) 8/12
Lc thresholds of anti-log canonical systems of Fano pairs (2) 8/13
Lc thresholds of R-linear systems with bounded degree 8/14
Complements near a divisor 8/15
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....
Proposition 5.2 11/9
...
Proposition 5.5 11/5
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